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Eigenschaften des Graphen

Zwei Aufgaben zu Nullstellen, Extrempunkten und einer angehobenen Welle.

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Besondere Stellen auflisten

AFB I–II

Gegeben ist die Sinusfunktion \(f(x)=\sin(x)\).

  1. Nennen Sie alle Nullstellen im Intervall \([-2\pi;\,2\pi]\).
  2. Bestimmen Sie alle Hoch- und Tiefpunkte im Intervall \([0;\,4\pi]\).
  3. Stellen Sie die Menge aller Hochstellen mithilfe einer ganzen Zahl \(k\) dar und erläutern Sie kurz, wofür \(k\) steht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Nullstellen sind Vielfache von \(\pi\) — Randwerte mitzählen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Starte bei \(\tfrac{\pi}{2}\) und gehe in Schritten von \(\pi\) weiter.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welchen Abstand haben zwei benachbarte Hochpunkte?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(-2\pi,\,-\pi,\,0,\,\pi,\,2\pi\) — fünf Nullstellen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Hochpunkte \((\tfrac{\pi}{2}|1)\), \((\tfrac{5\pi}{2}|1)\); Tiefpunkte \((\tfrac{3\pi}{2}|-1)\), \((\tfrac{7\pi}{2}|-1)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(x=\tfrac{\pi}{2}+k\cdot2\pi\) mit \(k\in\mathbb Z\). \(k\) zählt, um wie viele volle Perioden man vom Hochpunkt bei \(\tfrac{\pi}{2}\) nach rechts (\(k>0\)) oder links (\(k<0\)) geht.

2

Die angehobene Welle

AFB II–III

Betrachtet wird zusätzlich die Funktion \(g(x)=\sin(x)+1\). Lara behauptet: „Weil \(g\) höher liegt als \(f(x)=\sin(x)\), hat \(g\) doppelt so viele Nullstellen.“

f und g im Vergleich
xyπ/2π3π/22π5π/23π7π/24π−112
f(x) = sin(x) blau, g(x) = sin(x) + 1 orange gestrichelt.
  1. Ermitteln Sie den Wertebereich und die Nullstellen von \(g\).
  2. Vergleichen Sie Periode, Amplitude und Nullstellen von \(f\) und \(g\).
  3. Nehmen Sie Stellung zu Laras Behauptung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Löse \(\sin(x)+1=0\), also \(\sin(x)=-1\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Wodurch unterscheiden sich die Graphen überhaupt?
Hinweis zu Aufgabe c)
Zähle die Nullstellen in \([0;\,2\pi)\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Wertebereich \([0;\,2]\). \(\sin(x)=-1\) nur bei \(x=\tfrac{3\pi}{2}+k\cdot2\pi\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Periode \(2\pi\) und Amplitude \(1\) sind gleich — \(g\) ist nur um \(1\) nach oben verschoben. \(f\) hat zwei Nullstellen pro Periode, \(g\) nur eine, und die ist zugleich Tiefpunkt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Laras Aussage ist falsch: In \([0;\,2\pi)\) hat \(f\) die Nullstellen \(0\) und \(\pi\), \(g\) nur \(\tfrac{3\pi}{2}\). Das Anheben führt zu weniger Nullstellen, weil der Graph die \(x\)-Achse nur noch in den Tiefpunkten berührt.