Periode, Amplitude, Wertebereich
Drei Kennzahlen beschreiben jede Welle. Beim Sinus sind sie besonders einfach.
- Periode \(p\):Länge des Abschnitts, nach dem sich der Graph wiederholt; bei \(\sin\): \(p=2\pi\).
- Amplitude:größter Abstand des Graphen von der Mittellinie; bei \(\sin\): \(1\).
- Wertebereich:\(W=[-1;\,1]\).
- Symmetrie:punktsymmetrisch zum Ursprung: \(\sin(-x)=-\sin(x)\).
Nullstellen und Extremstellen
Weil sich der Graph wiederholt, gibt es unendlich viele besondere Stellen. Man beschreibt sie mit einem Muster.
- Nullstellen:\(x=k\cdot\pi\): …, \(-\pi\), \(0\), \(\pi\), \(2\pi\), …
- Hochpunkte:bei \(x=\tfrac{\pi}{2}+k\cdot2\pi\) mit \(y=1\).
- Tiefpunkte:bei \(x=\tfrac{3\pi}{2}+k\cdot2\pi\) mit \(y=-1\).
- \(k\in\mathbb Z\):\(k\) steht für jede ganze Zahl — so beschreibt man alle Stellen auf einmal.
Wähle einen Stift und markiere alle Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte zwischen \(-2\pi\) und \(2\pi\). Klicke die Punkte an oder nutze Tab und Enter. Dann: Prüfen.
Halte fest: Nullstellen liegen im Abstand \(\pi\), Hochpunkte und Tiefpunkte jeweils im Abstand \(2\pi\).
Sinusfunktion: Periode \(p=2\pi\), Wertebereich \([-1;\,1]\), Nullstellen \(x=k\cdot\pi\) mit \(k\in\mathbb Z\)
Allgemeine Hinweise
Abstand π, nicht 2π
Zwischen zwei Nullstellen liegt nur eine halbe Periode. Wer mit \(k\cdot2\pi\) rechnet, verliert die Hälfte.
Amplitude ist nicht die Höhe
Von Tief- bis Hochpunkt sind es \(2\). Die Amplitude misst nur von der Mittellinie aus: \(1\).
Eine Periode reicht
Kennst du die Stellen in \([0;\,2\pi]\), erhältst du alle anderen durch Verschieben um \(2\pi\).