MINT lernen

Verschieben mit c und d

Zwei Aufgaben — Höhe einer Gondel und eine Gleichung, die man auf viele Arten schreiben kann.

1

Die Gondel im Riesenrad

AFB I–II

Die Höhe einer Gondel wird durch \(h(t)=25\cdot\sin\big(\tfrac{\pi}{10}(t-5)\big)+28\) beschrieben (\(t\) in min, \(h\) in m).

  1. Nennen Sie die Höhe der Radmitte sowie die größte und die kleinste Höhe der Gondel.
  2. Berechnen Sie die Höhe nach \(12\) Minuten.
  3. Ermitteln Sie Umlaufzeit und den ersten Zeitpunkt, an dem die Gondel ganz oben ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Mittellinie \(d\), dazu \(\pm|a|\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Modus Rad; erst die Klammer ausrechnen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Periode \(\tfrac{2\pi}{b}\); der Hochpunkt liegt eine Viertelperiode nach \(c\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Radmitte \(28\,\mathrm m\); größte Höhe \(53\,\mathrm m\), kleinste \(3\,\mathrm m\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h(12)=25\cdot\sin(0{,}7\pi)+28\approx25\cdot0{,}809+28\approx48{,}2\,\mathrm m\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Umlaufzeit \(p=\tfrac{2\pi}{\pi/10}=20\,\mathrm{min}\). Ganz oben bei \(t=5+5=10\,\mathrm{min}\).

2

Gleichung gesucht

AFB II–III

Abgebildet ist der Graph einer Funktion der Form \(f(x)=a\cdot\sin\big(b(x-c)\big)+d\). Carla schlägt als Alternative \(k(x)=1{,}5\cdot\cos\big(2(x-\tfrac{\pi}{2})\big)-0{,}5\) vor.

Der Graph von f
xyπ/4π/23π/4π3π/22π−2−11
Ausschnitt von 0 bis 2π, Gitter in π/4-Schritten.
  1. Stellen Sie eine Funktionsgleichung zum Graphen auf. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.
  2. Überprüfen Sie, ob Carlas Term denselben Graphen beschreibt.
  3. Erläutern Sie, warum es unendlich viele verschiedene Gleichungen für denselben Graphen gibt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Reihenfolge: \(d\), \(a\), \(b\), \(c\). Max \(1\), Min \(-2\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Wo hat \(k\) einen Hochpunkt? Vergleiche mit dem Graphen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Denke an die Periode und an ein negatives \(a\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(d=\tfrac{1+(-2)}{2}=-0{,}5\), \(a=\tfrac{1-(-2)}{2}=1{,}5\), Periode \(\pi\), also \(b=2\). Steigender Mitteldurchgang bei \(x=\tfrac{\pi}{4}\): \(f(x)=1{,}5\sin\big(2(x-\tfrac{\pi}{4})\big)-0{,}5\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Der Kosinus hat seinen Hochpunkt bei Argument \(0\): \(2(x-\tfrac{\pi}{2})=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}\), \(k(\tfrac{\pi}{2})=1\). Der Graph hat dort ebenfalls den Hochpunkt \((\tfrac{\pi}{2}|1)\); Amplitude, Periode und Mittellinie stimmen überein. Carlas Term ist richtig.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(c\) darf man um jedes Vielfache der Periode \(\pi\) ändern (\(c=\tfrac{\pi}{4}+k\pi\)). Außerdem kann man \(a=-1{,}5\) wählen und \(c\) um eine halbe Periode verschieben, oder wie Carla den Kosinus verwenden.