Verschieben in x- und y-Richtung
Mit zwei weiteren Parametern lässt sich die Welle an jeden Platz schieben. Zusammen entsteht die allgemeine Sinusfunktion.
- Allgemeine Form:\(f(x)=a\cdot\sin\big(b\,(x-c)\big)+d\).
- Parameter \(c\):verschiebt um \(c\) nach rechts (\(c<0\): nach links).
- Parameter \(d\):verschiebt um \(d\) nach oben; \(y=d\) ist die Mittellinie.
- Größter / kleinster Wert:\(d+|a|\) und \(d-|a|\).
Gleichung aus dem Graphen
Umgekehrt liest man die vier Parameter in fester Reihenfolge am Graphen ab.
- 1. \(d\):Mittellinie: \(d=\tfrac{\text{Max}+\text{Min}}{2}\).
- 2. \(a\):Amplitude: \(a=\tfrac{\text{Max}-\text{Min}}{2}\).
- 3. \(b\):Periode \(p\) ablesen, dann \(b=\tfrac{2\pi}{p}\).
- 4. \(c\):\(x\)-Wert, an dem der Graph die Mittellinie steigend schneidet.
Baue die Gleichung zur gestrichelten Zielkurve Baustein für Baustein: erst \(d\), dann \(a\), \(b\) und \(c\). Nach jedem Baustein siehst du, wie nah deine Kurve schon ist.
Halte fest: In der Reihenfolge \(d\), \(a\), \(b\), \(c\) hängt jeder Schritt nur von schon Bekanntem ab.
Allgemeine Sinusfunktion: \(f(x)=a\cdot\sin\big(b\,(x-c)\big)+d\) mit Amplitude \(|a|\), Periode \(\tfrac{2\pi}{b}\), Mittellinie \(y=d\)
Allgemeine Hinweise
b erst ausklammern
\(\sin(2x-\pi)=\sin\big(2(x-\tfrac{\pi}{2})\big)\): Die Verschiebung ist \(c=\tfrac{\pi}{2}\), nicht \(\pi\).
Minus heißt rechts
In \(\sin(x-c)\) mit \(c>0\) wandert der Graph nach rechts — wie bei der Scheitelpunktform.
Kosinus geht auch
Beginnt der Graph oben, passt oft \(a\cdot\cos\big(b(x-c)\big)+d\) — dann ist \(c\) die Stelle eines Hochpunkts.