Höher, flacher, schneller
Zwei Faktoren verändern die Form der Sinuskurve: \(a\) vor dem Sinus, \(b\) vor dem \(x\).
- Parameter \(a\):streckt in \(y\)-Richtung; die Amplitude ist \(|a|\).
- \(a<0\):zusätzlich Spiegelung an der \(x\)-Achse.
- Parameter \(b\):(\(b>0\)) streckt oder staucht in \(x\)-Richtung.
- \(b>1\):mehr Wellen, kürzere Periode; bei \(0<b<1\) längere Periode.
Verändere immer nur einen Regler und vergleiche mit der grauen Kurve \(\sin(x)\). Die orange Klammer zeigt eine Periode.
Halte fest: \(a\) ändert nur die Höhe, \(b\) nur die Länge einer Periode — verdoppelt man \(b\), halbiert sich die Periode.
Die Periode berechnen
Eine volle Welle ist fertig, wenn das Argument \(b\cdot x\) den Wert \(2\pi\) erreicht.
Herleitung:Der Sinus hat genau eine Periode durchlaufen, wenn sein Argument \(2\pi\) ist.
Nach \(x\) auflösen — das ist die Länge einer Periode.
Periode der Funktion \(f(x)=a\cdot\sin(bx)\).
- Beispiel:\(f(x)=2\sin(3x)\): Amplitude \(2\), Periode \(\tfrac{2\pi}{3}\approx2{,}09\).
- Umgekehrt:Periode \(p\) gegeben: \(b=\tfrac{2\pi}{p}\).
Für \(f(x)=a\cdot\sin(bx)\): Amplitude \(|a|\) und Periode \(p=\dfrac{2\pi}{b}\)
Allgemeine Hinweise
Großes b, kleine Periode
Bei \(b=4\) ist die Periode \(\tfrac{\pi}{2}\) — viermal kürzer, nicht viermal länger.
Amplitude ist positiv
Bei \(a=-2\) ist die Amplitude \(2\). Das Minus spiegelt nur.
Periode aus dem Alltag
Wiederholt sich etwas alle \(12\) Stunden, ist \(b=\tfrac{2\pi}{12}=\tfrac{\pi}{6}\).