Tageslänge in Hannover
AFB I–IIIn Hannover dauert der längste Tag (21. Juni) etwa \(16{,}5\,\mathrm h\), der kürzeste (21. Dezember) etwa \(7{,}9\,\mathrm h\). Um den 21. März (\(t=80\)) sind Tag und Nacht gleich lang. Dabei ist \(t\) die Zahl der Tage seit dem 1. Januar.
- Bestimmen Sie die Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) eines Modells \(f(t)=a\sin\big(b(t-c)\big)+d\).
- Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.
- Berechnen Sie mit dem Modell die Tageslänge am 1. Mai (\(t=120\)).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(d=\tfrac{16{,}5+7{,}9}{2}=12{,}2\), \(a=\tfrac{16{,}5-7{,}9}{2}=4{,}3\), \(b=\tfrac{2\pi}{365}\approx0{,}0172\), \(c=80\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(f(t)=4{,}3\cdot\sin\big(0{,}0172\,(t-80)\big)+12{,}2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(f(120)=4{,}3\sin(0{,}0172\cdot40)+12{,}2\approx4{,}3\cdot0{,}636+12{,}2\approx14{,}9\,\mathrm h\) — etwa 14 Stunden 55 Minuten.
Temperatur im Tagesverlauf
AFB II–IIIAn einem Sommertag wurden folgende Temperaturen gemessen:
| Uhrzeit t in h | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T in °C | 9,6 | 8,1 | 9,5 | 14,4 | 18,6 | 19,8 | 17,4 | 13,2 |
Ein Schüler schlägt das Modell \(T(t)=6\sin\big(\tfrac{\pi}{12}(t-9)\big)+14\) vor.
- Entwickeln Sie aus der Tabelle begründet Werte für \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) und vergleichen Sie mit dem Vorschlag.
- Überprüfen Sie das Modell für \(t=12\) und \(t=18\).
- Bewerten Sie, wie gut das Modell den Tagesverlauf beschreibt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(d=\tfrac{19{,}8+8{,}1}{2}\approx14\), \(a=\tfrac{19{,}8-8{,}1}{2}\approx5{,}9\), \(p=24\,\mathrm h\Rightarrow b=\tfrac{\pi}{12}\). Zwischen \(t=6\) (9,5 °C) und \(t=9\) (14,4 °C) wird die Mittellinie steigend gekreuzt, etwa bei \(c\approx9\). Der Vorschlag passt dazu.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(T(12)=6\sin(\tfrac{\pi}{4})+14\approx18{,}2\) (gemessen 18,6; Abweichung \(+0{,}4\)). \(T(18)\approx18{,}2\) (gemessen 17,4; Abweichung \(-0{,}8\,^\circ\mathrm C\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Abweichungen bleiben unter \(1\,^\circ\mathrm C\), das Modell beschreibt den Verlauf gut. Es ist aber symmetrisch, obwohl die Temperatur abends langsamer fällt, als sie vormittags steigt. Es gilt nur für diesen Tag; Wetterwechsel oder andere Jahreszeiten erfordern ein neues Modell.