Periodische Vorgänge
Viele Vorgänge in Natur und Technik wiederholen sich. Die allgemeine Sinusfunktion beschreibt sie mit vier Zahlen.
- Periodisch:ein Vorgang wiederholt sich in gleichen Zeitabständen.
- Beispiele:Ebbe und Flut, Tageslänge im Jahr, Höhe einer Gondel im Riesenrad.
- Modell:\(f(t)=a\cdot\sin\big(b\,(t-c)\big)+d\) mit der Zeit \(t\).
- Einheiten:\(t\) in h, Tagen oder Monaten — die Periode \(p\) hat dieselbe Einheit.
Vier Messungen, ein Modell
Aus den Messwerten liest man Maximum, Minimum, Periode und einen Startpunkt ab.
- Mittellinie:\(d=\tfrac{\text{Max}+\text{Min}}{2}\).
- Amplitude:\(a=\tfrac{\text{Max}-\text{Min}}{2}\).
- Periode:\(p\) = Abstand zweier Hochpunkte, dann \(b=\tfrac{2\pi}{p}\).
- Verschiebung:\(c\) = Zeitpunkt, an dem die Werte die Mittellinie steigend kreuzen.
Miss selbst: Ziehe die grüne Linie auf das Maximum, die rote auf das Minimum, die beiden blauen Linien auf zwei Hochpunkte und die violette auf einen steigenden Durchgang durch die Mitte. Dann: Modell zeichnen.
Halte fest: Zwei waagerechte und zwei senkrechte Messungen genügen für \(a\), \(b\) und \(d\) — die fünfte legt \(c\) fest.
Modell: \(f(t)=a\cdot\sin\big(b\,(t-c)\big)+d\) mit \(d=\tfrac{\text{Max}+\text{Min}}{2}\), \(a=\tfrac{\text{Max}-\text{Min}}{2}\), \(b=\tfrac{2\pi}{p}\)
Allgemeine Hinweise
c nicht am Hochpunkt
Der Sinus startet auf der Mittellinie und steigt. Der Hochpunkt liegt erst eine Viertelperiode später bei \(c+\tfrac{p}{4}\).
Periode mit Einheit
Bei \(p=12{,}4\,\text{h}\) ist \(b=\tfrac{2\pi}{12{,}4}\approx0{,}51\) — und \(t\) muss dann auch in Stunden eingesetzt werden.
Mit dem GTR prüfen
Der fx-CG50 kann eine Sinus-Regression: Menü Statistik, Werte eingeben, dann F2 (CALC) → REG → Sin.