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Trigonometrische Gleichungen

Zehn Übungen zum Finden aller Lösungen — am Einheitskreis und mit der Periode.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Lösungen von sin(x) = 0,5
AFB I

Welche Zahlen lösen die Gleichung sin(x) = 0,5?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
13π/6 = π/6 + 2π gehört zur selben Lösungsfamilie. −π/6 und 7π/6 liegen unterhalb der x-Achse (sin = −0,5), π/3 liefert 0,87.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Sinus: x₂ = π − x₁. Kosinus: x₂ = 2π − x₁. Danach beides um k · 2π ergänzen.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Um sin(x) = y₀ zu lösen, berechnet man zuerst x₁ = (y₀). Die zweite Lösung erhält man durch an der y-Achse: x₂ = − x₁. Alle weiteren Lösungen entstehen durch Addieren von Vielfachen der 2π. Für |y₀| > 1 gibt es Lösung.

cos⁻¹ braucht man bei Kosinusgleichungen — dort ist die zweite Lösung 2π − x₁.
A4
Wie viele Lösungen in [0; 2π)?
AFB I

Ordne jede Gleichung nach der Anzahl ihrer Lösungen im Intervall [0; 2π).

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1keine
2genau eine
3genau zwei
Bei ±1 berührt die Waagerechte den Kreis nur in einem Punkt. cos(x) = 1 hätte auch 2π als Lösung — die gehört aber nicht zu [0; 2π).
A5
Die größere Lösung
AFB I

Löse sin(x) = −0,3 im Intervall [0; 2π). Gib die größere der beiden Lösungen auf zwei Nachkommastellen an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
sin⁻¹(−0,3) ≈ −0,305 liegt nicht im Intervall. Plus 2π ergibt ≈ 5,98; die zweite Lösung ist π + 0,305 ≈ 3,45.
A6
Schritt für Schritt lösen
AFB II

Bringe die Schritte zum Lösen von 2 · sin(x) − 1 = 0,4 in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Nach sin(x) umstellen: sin(x) = 0,7.
2x₁ = sin⁻¹(0,7) ≈ 0,775 berechnen (Modus Rad).
3x₂ = π − x₁ ≈ 2,366 bilden.
4Periode anfügen: x = 0,775 + k · 2π oder x = 2,366 + k · 2π.
5Nur die Lösungen im gefragten Intervall notieren.
Viele beginnen mit sin⁻¹ auf der ganzen Gleichung — erst muss sin(x) allein stehen.
A7
Rechenkette
AFB II

Löse sin(x) = 0,8 im Intervall [0; 4π]. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. x₁ = sin⁻¹(0,8) =
  2. x₂ = π − x₁ =
  3. x₃ = x₁ + 2π =
  4. x₄ = x₂ + 2π =
In [0; 4π] liegen zwei Perioden, also vier Lösungen. x₁ + 4π ≈ 13,5 ist schon zu groß.
A8
Gleichung und Lösungsmenge
AFB II

Verbinde jede Gleichung mit ihren Lösungen im Intervall [0; 2π).

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Erst entscheiden, ob Sinus (Höhe) oder Kosinus (Rechts-links-Lage) gefragt ist — dann die Spiegelachse wählen.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

6 Sätze aus einem Schulheft — 3 davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 6: Negative Rechnerwerte müssen erst ins Intervall gebracht werden — sonst fehlen beide Lösungen.
A10
Lösungen zählen ohne Rechnung
AFB III

Wie viele Lösungen hat die Gleichung im Intervall [0; 2π]? Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = keine, 2 = eine, 3 = zwei, 4 = drei, 5 = vier oder mehr. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = keine5 = vier oder mehr
sin(x) = 0
sin(x) = 1
sin(x) = −1,01
sin(x) = 0,99
sin(2x) = 0,3
Rand beachten: Bei sin(x) = 0 zählen 0 und 2π mit. 0,99 liegt knapp unter 1 — noch zwei Schnittpunkte. sin(2x) hat zwei Perioden im Intervall.