MINT lernen

Trigonometrische Gleichungen

Zwei Aufgaben — exakte Lösungen am Einheitskreis und eine schaukelnde Boje.

1

Exakte Werte am Einheitskreis

AFB I–II

Die folgenden Gleichungen lassen sich mit den bekannten Werten \(\sin\tfrac{\pi}{6}=0{,}5\) und \(\cos\tfrac{\pi}{3}=0{,}5\) ohne Rechner lösen.

  1. Lösen Sie \(\sin(x)=0{,}5\) im Intervall \([0;\,2\pi]\).
  2. Bestimmen Sie alle Lösungen von \(\cos(x)=-0{,}5\) im Intervall \([0;\,4\pi]\).
  3. Geben Sie die Lösungsmenge von \(\sin(x)=0{,}5\) für alle reellen Zahlen an.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Eine Lösung kennst du; die zweite liegt spiegelbildlich zur \(y\)-Achse.
Hinweis zu Aufgabe b)
Links von der \(y\)-Achse; Bezugswinkel \(\tfrac{\pi}{3}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Beide Lösungen aus a) um Vielfache von \(2\pi\) ergänzen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(x_1=\tfrac{\pi}{6}\), \(x_2=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x_1=\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}\), \(x_2=\pi+\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{4\pi}{3}\); plus \(2\pi\): \(\tfrac{8\pi}{3}\) und \(\tfrac{10\pi}{3}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(x=\tfrac{\pi}{6}+k\cdot2\pi\) oder \(x=\tfrac{5\pi}{6}+k\cdot2\pi\) mit \(k\in\mathbb Z\).

2

Die schaukelnde Boje

AFB II–III

Eine Boje schaukelt in den Wellen. Ihre Höhe über dem mittleren Wasserstand wird durch \(h(t)=0{,}4\cdot\sin(t)\) beschrieben (\(t\) in s, \(h\) in m). Eine Kamera löst aus, sobald die Boje höher als \(0{,}3\,\mathrm m\) ist.

Höhe der Boje
thπ/2π3π/22π−0,40,4
h(t) = 0,4 · sin(t); gestrichelt die Auslösehöhe 0,3 m.
  1. Ermitteln Sie die Zeitpunkte in \([0;\,2\pi]\), an denen die Boje genau \(0{,}3\,\mathrm m\) hoch ist.
  2. Interpretieren Sie den Abstand der beiden Zeitpunkte im Sachzusammenhang.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „Die Boje ist in jeder Schwingung genauso lange unter \(-0{,}3\,\mathrm m\) wie über \(0{,}3\,\mathrm m\).“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Durch \(0{,}4\) teilen, dann wie gewohnt zwei Lösungen bilden.
Hinweis zu Aufgabe b)
Was passiert zwischen \(t_1\) und \(t_2\)?
Hinweis zu Aufgabe c)
Nutze die Punktsymmetrie der Sinuskurve.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\sin(t)=0{,}75\): \(t_1=\sin^{-1}(0{,}75)\approx0{,}85\,\mathrm s\), \(t_2=\pi-0{,}85\approx2{,}29\,\mathrm s\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(2{,}29-0{,}85\approx1{,}44\,\mathrm s\): So lange ist die Boje in jeder Schwingung über \(0{,}3\,\mathrm m\) — die Kamera kann in dieser Zeit auslösen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Richtig: \(\sin(t+\pi)=-\sin(t)\). Jede Zeitspanne über \(0{,}3\) findet sich eine halbe Periode später als gleich lange Zeitspanne unter \(-0{,}3\) (\(\approx3{,}99\) bis \(5{,}43\,\mathrm s\)).