Zwei Lösungen am Einheitskreis
Eine Gleichung wie \(\sin(x)=0{,}5\) fragt: Welche Kreispunkte liegen auf der Höhe \(0{,}5\)?
- Ansatz:\(\sin(x)=y_0\) heißt: Kreispunkte mit der Höhe \(y_0\) suchen.
- Für \(-1<y_0<1\):genau zwei Kreispunkte, also zwei Lösungen in \([0;\,2\pi)\).
- Erste Lösung:\(x_1=\sin^{-1}(y_0)\) — Rechner im Modus Rad.
- Zweite Lösung:\(x_2=\pi-x_1\) — Spiegelung an der \(y\)-Achse.
- Beim Kosinus:\(\cos(x)=y_0\): \(x_2=2\pi-x_1\) — Spiegelung an der \(x\)-Achse.
Stelle die Höhe \(y_0\) ein. Dann in drei Schritten: erste Lösung holen, an der \(y\)-Achse spiegeln, beide Lösungen um \(2\pi\) weiterlegen.
Halte fest: Aus einer Lösung werden durch Spiegeln zwei — und durch Weiterlegen um \(2\pi\) unendlich viele.
Alle Lösungen angeben
Wegen der Periode \(2\pi\) gehört zu jeder Lösung eine ganze Familie.
- Periode:mit \(x\) ist auch \(x+k\cdot2\pi\) eine Lösung, \(k\in\mathbb Z\).
- Im Intervall:nur die Werte notieren, die in das vorgegebene Intervall fallen.
- Beispiel:\(\sin(x)=0{,}5\): \(x_1=\tfrac{\pi}{6}\), \(x_2=\tfrac{5\pi}{6}\); in \([0;\,4\pi]\) zusätzlich \(\tfrac{13\pi}{6}\) und \(\tfrac{17\pi}{6}\).
- Sonderfälle:\(y_0=\pm1\): nur eine Lösung je Periode; \(|y_0|>1\): keine Lösung.
Lösungen von \(\sin(x)=y_0\): \(x=x_1+k\cdot2\pi\) oder \(x=\pi-x_1+k\cdot2\pi\) mit \(x_1=\sin^{-1}(y_0)\), \(k\in\mathbb Z\)
Allgemeine Hinweise
Der Rechner liefert nur eine
\(\sin^{-1}\) gibt immer nur einen Wert zwischen \(-\tfrac{\pi}{2}\) und \(\tfrac{\pi}{2}\) aus. Die zweite Lösung musst du selbst bilden.
Negativer Rechnerwert
Bei \(\sin(x)=-0{,}5\) ist \(x_1=-\tfrac{\pi}{6}\). Für \([0;\,2\pi)\) erst \(2\pi\) addieren: \(\tfrac{11\pi}{6}\).
Probe am Graphen
Zeichne die Gerade \(y=y_0\) zur Sinuskurve: Jeder Schnittpunkt ist eine Lösung — so fällt keine unter den Tisch.