MINT lernen

Gleichungen mit GTR und CAS

Zwei Aufgaben — ein Zeitfenster im Hafen und die Frage, wann exakt nötig ist.

1

Wann kann das Schiff einlaufen?

AFB I–II

Der Wasserstand in einem Hafen wird durch \(h(t)=1{,}5\cdot\sin\big(0{,}5(t-2)\big)+2{,}1\) beschrieben (\(t\) in h nach Mitternacht, \(h\) in m). Ein Frachter braucht mindestens \(3\,\mathrm m\) Wasser.

Wasserstand am Morgen
t in hh in m246810121234
h(t) in m, gestrichelt die Mindesttiefe 3 m.
  1. Beschreiben Sie, wie man mit dem GTR die Zeitpunkte findet, an denen der Wasserstand \(3\,\mathrm m\) beträgt.
  2. Ermitteln Sie diese Zeitpunkte zwischen \(0\) und \(12\) Uhr.
  3. Interpretieren Sie das Ergebnis für den Kapitän.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei Graphen, ein passendes Fenster, dann Schnittpunkte.
Hinweis zu Aufgabe b)
Kontrolle ohne GTR: \(\sin(0{,}5(t-2))=0{,}6\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Wann ist der Wasserstand höher als \(3\,\mathrm m\)?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Modus Rad; Y1: \(1.5\sin(0.5(x-2))+2.1\), Y2: \(3\); V-Window z. B. \(0\le x\le12\), \(0\le y\le4\); F6 zeichnen; SHIFT F5 (G-Solv), F5 (INTSECT), mit ▶ zum zweiten Schnittpunkt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(t_1\approx3{,}29\,\mathrm h\) (etwa 3:17 Uhr) und \(t_2\approx7{,}00\,\mathrm h\) (7:00 Uhr).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zwischen etwa 3:17 Uhr und 7:00 Uhr liegt der Wasserstand über \(3\,\mathrm m\). Der Frachter hat ein Zeitfenster von knapp \(3{,}7\) Stunden, um einzulaufen.

2

Exakt oder gerundet?

AFB II–III

Lina löst \(2\sin(x)=1\) auf drei Arten: am Einheitskreis, mit dem GTR und mit dem CAS ohne Intervallangabe. Der GTR zeigt \(0.5235987756\), das CAS gibt eine Lösung mit \(n1\) aus.

  1. Deuten Sie die CAS-Ausgabe mit \(n1\).
  2. Vergleichen Sie die drei Wege hinsichtlich Genauigkeit und Aufwand.
  3. Diskutieren Sie, wann ein exaktes Ergebnis nötig ist und wann ein gerundetes genügt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Rolle spielt \(k\) in der Lösungsmenge?
Hinweis zu Aufgabe b)
Exakt/gerundet, eine Lösung/alle Lösungen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Denke an Weiterrechnen und an Sachaufgaben.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(n1\) ist eine beliebige ganze Zahl. Die Ausgabe beschreibt alle Lösungen: \(x=\tfrac{\pi}{6}+n1\cdot2\pi\) oder \(x=\tfrac{5\pi}{6}+n1\cdot2\pi\) — wie \(k\in\mathbb Z\) im Heft.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Einheitskreis: exakt, aber nur bei bekannten Werten möglich. GTR: für jede Gleichung, aber gerundet und nur im Fenster (\(0{,}5236\approx\tfrac{\pi}{6}\)). CAS: exakt und vollständig, dafür muss man die Ausgabe deuten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Exakt ist sinnvoll, wenn weitergerechnet wird (keine Rundungsfehler) oder ein Beweis verlangt ist. In Sachaufgaben genügt gerundet — ein Pegel auf Zentimeter oder eine Zeit auf Minuten ist praktisch ausreichend.