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Der Einheitskreis

Zehn Übungen zu Punkten auf dem Kreis — vom Ablesen bis zum Einschätzen ohne Rechner.

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Übungsaufgaben

Zehn Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Der Punkt zu 150°
AFB I

Welche Aussagen über den Punkt P auf dem Einheitskreis zum Winkel α = 150° stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Links oberhalb der x-Achse: x negativ, y positiv. P(−0,87 | 0,5). Wer Sinus und Kosinus vertauscht oder das Vorzeichen des Quadranten vergisst, landet bei den falschen Angaben.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen rund um Sinus und Kosinus am Einheitskreis.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Pythagoras gilt für die Quadrate: (sin α)² + (cos α)² = 1 — nicht für die Werte selbst.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der Einheitskreis hat den 1 und seinen Mittelpunkt im . Ein Winkel wird von der positiven x-Achse aus gegen den gemessen. Die x-Koordinate des Punktes P heißt des Winkels, die y-Koordinate .

Der Tangens ist das Verhältnis sin α : cos α — er ist keine Koordinate von P und kommt am Einheitskreis nur als Steigung des Radius vor.
A4
Vorzeichen nach Quadranten
AFB I

Ordne jeden Winkel nach den Vorzeichen von sin α und cos α.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1sin > 0 und cos > 0
2sin > 0 und cos < 0
3sin < 0
Oben (0° bis 180°) ist der Sinus positiv, rechts (bis 90° und ab 270°) der Kosinus. 100° liegt knapp links der y-Achse — der Kosinus ist schon negativ.
A5
Den Zeiger nach den Werten setzen
AFB I

Drehe den Zeiger jeweils an die beschriebene Stelle.

Zieh den Punkt mit der Maus oder nutze die Pfeiltasten (Tab ins Bild). Enter oder der Knopf setzen den Zeiger.

Die Beträge kennst du von 30°, 45° und 60°. Den Quadranten verraten die Vorzeichen: Sinus → oben oder unten, Kosinus → rechts oder links.
A6
P zu 240° ohne Rechner
AFB II

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge, um die Koordinaten von P zu α = 240° zu bestimmen.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Quadrant bestimmen: 240° liegt im III. Quadranten.
2Bezugswinkel zur x-Achse: 240° − 180° = 60°.
3Beträge ablesen: cos 60° = 0,5 und sin 60° ≈ 0,87.
4Vorzeichen im III. Quadranten: beide negativ.
5Ergebnis: P(−0,5 | −0,87).
Häufig wird der Bezugswinkel falsch gebildet (240° − 90° = 150°). Gemessen wird immer zur x-Achse, also zu 180° oder 360°.
A7
Rechenkette
AFB II

Ein Punkt P auf dem Einheitskreis hat die y-Koordinate 0,6 und liegt im II. Quadranten.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. (sin α)² =
  2. (cos α)² = 1 − (sin α)² =
  3. cos α (Vorzeichen beachten!) =
  4. α auf ganze Grad gerundet = °
Pythagoras liefert nur den Betrag des Kosinus — der Quadrant entscheidet über das Vorzeichen. Der Rechner gibt sin⁻¹(0,6) ≈ 36,9° aus; im II. Quadranten gehört 180° − 36,9° ≈ 143° dazu.
A8
Winkel und Punkt
AFB II

Verbinde jeden Winkel mit dem zugehörigen Punkt auf dem Einheitskreis.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
60° und 300° haben dieselbe x-Koordinate: Sie liegen spiegelbildlich zur x-Achse. Nur das Vorzeichen des Sinus trennt sie.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

6 Sätze aus einem Schulheft — 3 davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten kostet der Fehler in Zeile 2 Punkte: Der Bezugswinkel liefert nur den Betrag, das Vorzeichen kommt aus dem Quadranten.
A10
Winkelwerte einschätzen
AFB III

Wie groß ist der angegebene Wert ungefähr? Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = ≈ −1 (unter −0,9), 2 = −0,9 bis −0,2, 3 = −0,2 bis 0,2, 4 = 0,2 bis 0,9, 5 = ≈ 1 (über 0,9). Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = ≈ −1 (unter −0,9)5 = ≈ 1 (über 0,9)
sin 85°
sin 190°
sin 265°
cos 50°
cos 250°
Stell dir P auf dem Kreis vor: 190° liegt knapp unter der x-Achse (Höhe ≈ −0,17), 265° fast ganz unten. Wer so denkt, braucht keinen Rechner.