MINT lernen

Der Einheitskreis

Zwei Sachaufgaben zu Punkten auf dem Kreis — vom Riesenrad bis zur zweiten Lösung.

1

Die Gondel im Koordinatensystem

AFB I–II

Ein Riesenrad hat einen Radius von \(20\,\mathrm m\). Der Mittelpunkt liegt im Ursprung eines Koordinatensystems. Die Lage einer Gondel \(G\) wird durch den Winkel \(\alpha\) beschrieben, gemessen von der positiven \(x\)-Achse gegen den Uhrzeigersinn.

Gondel am Riesenrad
x in my in m−20−101020−20−101020G
Mittelpunkt im Ursprung, Radius 20 m; α wird von der Waagerechten gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
  1. Geben Sie die Koordinaten der Gondel für \(\alpha=90^\circ\) und für \(\alpha=180^\circ\) an.
  2. Berechnen Sie die Koordinaten der Gondel für \(\alpha=50^\circ\) auf cm genau.
  3. Erklären Sie, warum man die Koordinaten mit dem Faktor \(20\) aus den Werten am Einheitskreis erhält.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stelle dir den Einheitskreis vor und strecke ihn mit dem Faktor 20.
Hinweis zu Aufgabe b)
Beim Radius \(r\) gilt \(G(r\cos\alpha\,|\,r\sin\alpha)\). Rechner im Modus Deg.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche die Dreiecke aus Radius, Lot und \(x\)-Achse im Einheitskreis und im Riesenrad.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\alpha=90^\circ\): \(G(0\,|\,20)\) — ganz oben. \(\alpha=180^\circ\): \(G(-20\,|\,0)\) — ganz links.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x=20\cdot\cos50^\circ\approx12{,}86\,\mathrm m\), \(y=20\cdot\sin50^\circ\approx15{,}32\,\mathrm m\). Also \(G(12{,}86\,|\,15{,}32)\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das Dreieck aus Mittelpunkt, Gondel und Lotfußpunkt ist zum entsprechenden Dreieck im Einheitskreis ähnlich (gleiche Winkel). Die Hypotenuse ist \(20\)-mal so lang, also auch beide Katheten: \(x=20\cos\alpha\), \(y=20\sin\alpha\).

2

Zwei Winkel, ein Sinus

AFB II–III

Emma behauptet: „Es gibt genau einen Winkel \(\alpha\) zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) mit \(\sin\alpha=0{,}4\) — den liefert der Rechner mit \(\sin^{-1}\).“

  1. Widerlegen Sie Emmas Behauptung mit einem Gegenbeispiel.
  2. Ermitteln Sie für beide Winkel den Kosinus ohne erneute Winkelberechnung.
  3. Zeigen Sie allgemein, dass \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\) und \(\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\) gilt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Zeichne am Einheitskreis die Waagerechte auf Höhe \(0{,}4\). Wie oft schneidet sie den Kreis?
Hinweis zu Aufgabe b)
Nutze \((\sin\alpha)^2+(\cos\alpha)^2=1\) und den Quadranten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Spiegle den Punkt \(P\) an der \(y\)-Achse. Welcher Winkel gehört zum Bildpunkt?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\sin^{-1}(0{,}4)\approx23{,}6^\circ\). Auch \(180^\circ-23{,}6^\circ=156{,}4^\circ\) hat den Sinus \(0{,}4\): Die Waagerechte schneidet den Kreis zweimal. Emmas Aussage ist falsch.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\((\cos\alpha)^2=1-0{,}16=0{,}84\), also \(|\cos\alpha|\approx0{,}917\). Bei \(23{,}6^\circ\) (I. Quadrant) \(\cos\alpha\approx0{,}917\), bei \(156{,}4^\circ\) (II. Quadrant) \(\cos\alpha\approx-0{,}917\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Spiegelung an der \(y\)-Achse bildet \(P(\cos\alpha\,|\,\sin\alpha)\) auf \(P'(-\cos\alpha\,|\,\sin\alpha)\) ab. Der Bildpunkt schließt mit der negativen \(x\)-Achse den Winkel \(\alpha\) ein, also mit der positiven den Winkel \(180^\circ-\alpha\). Vergleich der Koordinaten liefert beide Gleichungen.