Vom Dreieck zum Kreis
Aus Klasse 9 kennst du Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck. Ist die Hypotenuse genau 1 lang, werden daraus Koordinaten.
- Einheitskreis:Kreis um den Ursprung \(O\) mit Radius \(1\).
- Winkel \(\alpha\):von der positiven \(x\)-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
- Punkt \(P\):dort, wo der zweite Schenkel den Kreis trifft.
- Im Dreieck:Hypotenuse \(1\), also \(\sin\alpha=\tfrac{\text{Gegenkathete}}{1}\) und \(\cos\alpha=\tfrac{\text{Ankathete}}{1}\).
Ziehe \(P\) über den Kreis — mit der Maus oder mit den Pfeiltasten (15°-Schritte, mit Umschalt 5°). Beobachte die blaue und die orange Strecke, auch jenseits von \(90^\circ\).
Halte fest: Die \(x\)-Koordinate von \(P\) ist \(\cos\alpha\), die \(y\)-Koordinate ist \(\sin\alpha\) — für jeden Winkel.
Sinus und Kosinus als Koordinaten
Mit dem Einheitskreis haben Sinus und Kosinus auch für Winkel über \(90^\circ\) einen Wert.
- Definition:\(P(\cos\alpha\,|\,\sin\alpha)\) für jeden Winkel \(\alpha\).
- Vorzeichen:I. Quadrant beide positiv, II. \(\cos\alpha<0\), III. beide negativ, IV. \(\sin\alpha<0\).
- Wertebereich:\(-1\le\sin\alpha\le1\) und \(-1\le\cos\alpha\le1\).
- Pythagoras:die beiden Katheten und der Radius \(1\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
Einheitskreis: \(P(\cos\alpha\,|\,\sin\alpha)\) und \((\sin\alpha)^2+(\cos\alpha)^2=1\)
Allgemeine Hinweise
Erst x, dann y
Die erste Koordinate von \(P\) ist \(\cos\alpha\), die zweite \(\sin\alpha\) — nicht umgekehrt.
Negativ ist erlaubt
Über \(90^\circ\) hinaus können Werte negativ werden: \(\cos150^\circ\approx-0{,}87\), \(\sin210^\circ=-0{,}5\).
Symmetrie nutzt
Spiegelt man \(P\) an der \(y\)-Achse, bleibt die Höhe gleich: \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\).