MINT lernen

Das Bogenmaß

Zwei Sachaufgaben — von der Kirchturmuhr bis zum Modusfehler im Rechner.

1

Die Kirchturmuhr

AFB I–II

Der Minutenzeiger einer Kirchturmuhr ist \(1{,}2\,\mathrm m\) lang. In \(60\) Minuten dreht er sich einmal ganz herum.

  1. Geben Sie den Winkel an, um den sich der Zeiger in \(20\) Minuten dreht — in Grad und im Bogenmaß.
  2. Berechnen Sie den Weg, den die Zeigerspitze in \(20\) Minuten zurücklegt.
  3. Bestimmen Sie, nach wie vielen Minuten die Spitze einen Weg von \(1\,\mathrm m\) zurückgelegt hat.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
20 Minuten sind ein Drittel einer Stunde.
Hinweis zu Aufgabe b)
Bogenlänge = Radius · Bogenmaß.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erst das Bogenmaß \(x=\tfrac{b}{r}\) bestimmen, dann den Anteil an \(2\pi\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\tfrac13\cdot360^\circ=120^\circ\), im Bogenmaß \(\tfrac13\cdot2\pi=\tfrac{2\pi}{3}\approx2{,}09\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(b=1{,}2\,\mathrm m\cdot\tfrac{2\pi}{3}\approx2{,}51\,\mathrm m\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(x=\tfrac{1}{1{,}2}\approx0{,}833\). Anteil: \(\tfrac{0{,}833}{2\pi}\approx0{,}133\), also \(0{,}133\cdot60\,\mathrm{min}\approx8\,\mathrm{min}\).

2

Der falsche Modus

AFB II–III

Tim will die Höhe eines Drachens berechnen. Die Schnur ist \(50\,\mathrm m\) lang und straff gespannt, sie bildet mit dem Boden einen Winkel von \(35^\circ\). Tim tippt \(50\cdot\sin(35)\) in seinen Rechner und erhält \(-21{,}4\).

  1. Erklären Sie, wie Tims Ergebnis zustande kommt.
  2. Ermitteln Sie die tatsächliche Höhe des Drachens.
  3. Entwickeln Sie eine Kontrollstrategie, mit der man solche Fehler vor der Abgabe entdeckt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Einstellung erklärt ein negatives Ergebnis bei einem spitzen Winkel?
Hinweis zu Aufgabe b)
Modus Deg oder \(35^\circ\) vorher ins Bogenmaß umrechnen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Denke an einen Testwert und an Plausibilität.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Rechner stand im Modus Rad und hat \(35\) als Bogenmaß gelesen. \(35\) entspricht etwa \(2005^\circ\), das sind \(5\) volle Runden plus \(205^\circ\) — ein Winkel im III. Quadranten mit negativem Sinus: \(\sin(35)\approx-0{,}428\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h=50\,\mathrm m\cdot\sin35^\circ\approx28{,}7\,\mathrm m\) (bzw. \(50\cdot\sin(0{,}6109)\) im Modus Rad).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Vor dem Rechnen einen Testwert eingeben: \(\sin(90)\) ergibt im Modus Deg \(1\), im Modus Rad \(\approx0{,}894\). Nach dem Rechnen prüfen: Die Höhe muss positiv und kleiner als die Schnurlänge sein, bei \(35^\circ\) etwas mehr als die Hälfte (\(\sin30^\circ=0{,}5\)).