Das Bogenmaß

Winkel als Bogenlänge

Statt in Grad kann man einen Winkel auch durch die Länge des Bogens angeben, den er aus dem Einheitskreis schneidet.

Bogenmaß \(x\):Länge des Bogens auf dem Einheitskreis, der zum Winkel \(\alpha\) gehört.
Voller Kreis:Umfang \(2\pi\cdot1=2\pi\), also \(360^\circ\mathrel{\widehat{=}}2\pi\approx6{,}28\).
Halber Kreis:\(180^\circ\mathrel{\widehat{=}}\pi\approx3{,}14\).
Einheit:Das Bogenmaß ist eine reine Zahl; manchmal steht „rad“ dahinter.

Stelle mit \(P\) einen Winkel ein und rolle den Bogen auf die Zahlengerade ab. Wo landet \(90^\circ\), wo \(180^\circ\)?

Halte fest: Der Bogen zu \(180^\circ\) ist genau \(\pi\) lang, der ganze Kreis \(2\pi\).

Winkel und Bogen wachsen im gleichen Verhältnis — das liefert die Umrechnung.

Herleitung:

\(\dfrac{x}{2\pi}=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\)

Anteil

Bogen und Winkel sind derselbe Anteil am vollen Kreis.

\(x=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi\)

| · 2π

Beide Seiten mit \(2\pi\) multiplizieren.

\(x=\dfrac{\pi}{180^\circ}\cdot\alpha\)

kürzen

Durch \(2\) kürzen. Umgekehrt: \(\alpha=\tfrac{180^\circ}{\pi}\cdot x\).

Wichtige Werte:\(30^\circ\mathrel{\widehat{=}}\tfrac{\pi}{6}\), \(45^\circ\mathrel{\widehat{=}}\tfrac{\pi}{4}\), \(60^\circ\mathrel{\widehat{=}}\tfrac{\pi}{3}\), \(90^\circ\mathrel{\widehat{=}}\tfrac{\pi}{2}\).
GTR fx-CG50:SHIFT MENU (SET UP) → „Angle“ → F2 (Rad) oder F1 (Deg), dann EXIT.
CAS TI-Nspire:Einstellungen → Dokumenteinstellungen → Winkel: Bogenmaß oder Grad.
Kontrolle:\(\sin(\tfrac{\pi}{2})\) muss \(1\) ergeben — sonst steht der Rechner auf Grad.

Merke

Umrechnung: \(x=\dfrac{\pi}{180^\circ}\cdot\alpha\) und \(\alpha=\dfrac{180^\circ}{\pi}\cdot x\)

Im Modus Rad liefert \(\sin(30)\approx-0{,}988\), nicht \(0{,}5\) — der Rechner deutet 30 als Bogenmaß.