Rationale und irrationale Zahlen
Brüche haben abbrechende oder periodische Dezimaldarstellungen — Zahlen wie √2 und π nicht.
Rationale Zahlen
Als Bruch p/q darstellbar; beim Dividieren wiederholt sich spätestens nach q Schritten ein Rest.
Periode in Bruch
Mit 10ᵏ multiplizieren (k = Periodenlänge), dann die Zahl selbst abziehen.
Irrationale Zahlen
Nicht als Bruch darstellbar; unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.
Indirekter Beweis
Annahme √2 = p/q gekürzt führt auf „p und q gerade“ — Widerspruch.
Rechneranzeigen sind rational
Jede Anzeige bricht ab und ist damit ein Bruch. 1,414213562 ist nur eine Näherung für √2, nicht √2 selbst.
Näherungsverfahren für Wurzeln
Irrationale Wurzeln lassen sich nie exakt als Dezimalzahl hinschreiben — aber beliebig genau annähern.
Intervallhalbierung
Mitte m bilden, m² mit a vergleichen, die passende Hälfte behalten.
Genauigkeit
Jeder Schritt halbiert die Breite.
Heron-Verfahren
Mittelwert der Rechteckseiten; die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich etwa.
Iterieren mit Werkzeug
Tabelle: Formel mit relativem Bezug nach unten ausfüllen. GTR/CAS: mit Ans weiterrechnen.
Nicht zwischendurch runden
Mit Ans bzw. der Zelle darüber ungerundet weiterrechnen — erst das Endergebnis runden.
Folgen und Grenzwerte
Näherungswerte bilden Folgen; der Grenzwert ist die Zahl, der sie beliebig nahe kommen.
Folgen
Nummerierte Liste a₁, a₂, …; explizit aₙ = f(n) oder rekursiv aus dem Vorgänger mit Startwert.
Grenzwert
Ab einer Stelle n₀ bleiben alle Glieder in jedem noch so schmalen Streifen um g.
0,999… = 1
Der Abstand zu 1 ist nach n Neunen 10⁻ⁿ und wird kleiner als jede positive Zahl.
Grenzverhalten 1/x
Für x → ±∞ gegen 0 (waagerechte Asymptote y = 0); bei x = 0 kein Grenzwert.
Verschieden schnell
Bis Abstand < 0,001: Heron 3 Schritte, Intervallhalbierung 10, 1/n über 1000. Begrenztes Wachstum und Abnahme sind ebenfalls Grenzprozesse.