Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen prüfen, Beweise führen und Verfahren vergleichen, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum jeder Bruch mit dem Nenner 13 eine Periode von höchstens 12 Ziffern hat.
Hinweis: Denke an die möglichen Reste beim schriftlichen Dividieren.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Beim Teilen durch 13 können nur die Reste 0, 1, …, 12 auftreten. Kommt der Rest 0, bricht die Dezimalzahl ab. Sonst gibt es nur 12 mögliche Reste; spätestens beim 13. Schritt wiederholt sich einer. Ab dann wiederholen sich alle Rechnungen und Ziffern — die Periode ist also höchstens 12 Ziffern lang.
Beurteile die Aussage „π = 22/7“.
Hinweis: Rechne 22/7 als Dezimalzahl aus.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Die Aussage ist falsch. 22/7 = 3,1̅4̅2̅8̅5̅7̅ ist periodisch und damit rational; π = 3,14159… ist irrational. Die Zahlen unterscheiden sich schon in der dritten Nachkommastelle. Richtig ist π ≈ 22/7 — ein guter Näherungsbruch.
Beweise indirekt, dass √3 irrational ist. Du darfst verwenden: Ist p² durch 3 teilbar, dann auch p.
Hinweis: Gehe vor wie beim Beweis für √2.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Annahme: √3 = p/q mit gekürztem Bruch. Quadrieren: 3 = p²/q², also p² = 3q². Damit ist p² durch 3 teilbar, also auch p: p = 3k. Einsetzen: 9k² = 3q², also q² = 3k². Dann ist auch q durch 3 teilbar. p und q hätten den gemeinsamen Teiler 3 — Widerspruch zur Annahme. Also ist √3 irrational.
Vergleiche die Intervallhalbierung und das Heron-Verfahren zur Berechnung von √a. Nenne je einen Vorteil.
Hinweis: Denke an Tempo und an die Sicherheit der Einschachtelung.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Das Heron-Verfahren ist viel schneller: Die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich ungefähr pro Schritt (für √2 genügen 3 Schritte bis Abstand 0,001). Die Intervallhalbierung braucht dafür etwa 10 Schritte, rechnet aber nur mit Mitte und Quadrat, liefert in jedem Schritt eine sichere untere und obere Grenze und lässt sich auf viele andere Gleichungen übertragen.
Begründe, dass beim Heron-Verfahren ab x₁ alle Werte größer als √a sind. Nutze x₁ = (x₀ + y₀) : 2 mit y₀ = a : x₀.
Hinweis: Berechne x₁² − a.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: x₁² = ((x₀ + y₀)/2)² = (x₀² + 2x₀y₀ + y₀²)/4. Mit x₀y₀ = a folgt x₁² − a = (x₀² − 2x₀y₀ + y₀²)/4 = ((x₀ − y₀)/2)² ≥ 0. Also x₁² ≥ a und x₁ ≥ √a; Gleichheit nur, wenn x₀ schon √a war. Geometrisch: Beim Umlegen fehlt genau die Ecke ((x₀ − y₀)/2)².
Beurteile die Aussage „0,999… ist die größte Zahl, die kleiner als 1 ist“.
Hinweis: Gibt es eine Zahl zwischen 0,999… und 1?
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Die Aussage ist falsch. 0,9̅ ist der Grenzwert der Folge 0,9; 0,99; …, deren Abstand zu 1 (10⁻ⁿ) kleiner als jede positive Zahl wird — also ist 0,9̅ = 1. Außerdem gibt es gar keine größte Zahl kleiner als 1: Zu jedem x < 1 liegt (x + 1) : 2 noch dazwischen.
Untersuche, ob die Folge aₙ = (−1)ⁿ · 1/n einen Grenzwert hat.
Hinweis: Schreibe die ersten Glieder auf und betrachte den Abstand zu 0.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Die Glieder −1; 0,5; −0,33; 0,25; … springen abwechselnd auf beide Seiten der 0. Ihr Abstand zu 0 ist aber |aₙ| = 1/n und wird beliebig klein. Also hat die Folge den Grenzwert 0 — ein Grenzwert kann auch von beiden Seiten angenähert werden.
Entwickle für die Folge 5; 8; 11; 14; … eine rekursive und eine explizite Darstellung und prüfe beide mit a₄.
Hinweis: Welcher Unterschied bleibt von Glied zu Glied gleich?
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Von Glied zu Glied kommen 3 dazu: rekursiv a₁ = 5, aₙ₊₁ = aₙ + 3. Explizit: aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2. Probe: rekursiv a₄ = 11 + 3 = 14, explizit a₄ = 3 · 4 + 2 = 14. Beide Darstellungen beschreiben dieselbe Folge.
Beurteile die Aussage „Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist immer irrational“.
Hinweis: Suche ein Gegenbeispiel mit √2.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: √2 und −√2 sind irrational, ihre Summe 0 ist rational. Ebenso (1 + √2) + (1 − √2) = 2. Richtig ist nur: rational + irrational ist immer irrational.
Nimm Stellung zur Aussage „Nach dem Modell T(t) = 20 + 70 · 0,9ᵗ ist der Tee nach zwei Stunden genau 20 °C warm“.
Hinweis: Berechne T(120) und denke an den Grenzwert.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
Musterlösung: Im Modell ist 70 · 0,9ᵗ immer positiv, also T(t) > 20 °C für jedes t; T(120) ≈ 20,0002 °C. „Genau 20 °C“ wird nie erreicht — 20 °C ist der Grenzwert. Praktisch ist der Unterschied nach zwei Stunden aber nicht mehr messbar, die Aussage ist also als Näherung vertretbar, mathematisch aber falsch.