MINT lernen

Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Sachaufgaben vom Kuchen bis zum Tee — erst übersetzen, dann rechnen.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
2

Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Kuchen für sieben
AFB II

Ein Kuchen wiegt 1 kg und wird gerecht auf 7 Personen verteilt. Es gilt 1/7 = 0,142857142857…

a) Wie viele Ziffern hat die Periode? b) Wie viel Gramm bekommt jede Person (auf ganze Gramm gerundet)?

g
Ansatz: Ziffernblock suchen, der sich wiederholt; 1 kg = 1000 g.
Rechenweg: Periode 142857; 1000 g : 7 ≈ 142,86 g.
Lösung: a) 6 b) 143 g
Vollständige Lösung
1/7 = 0,1̅4̅2̅8̅5̅7̅ — die Periode hat 6 Ziffern. Jede Person erhält 1000 g : 7 ≈ 142,86 g ≈ 143 g. Hinweis: Beim Teilen durch 7 gibt es nur die Reste 1 bis 6, deshalb höchstens 6 Ziffern.
A2
Quadratisches Beet
AFB II

Ein quadratisches Beet soll 10 m² groß werden. Die Seitenlänge wird mit dem Heron-Verfahren bestimmt, Startwert x₀ = 3.

a) Berechne x₁ (zwei Nachkommastellen). b) Berechne x₂ (zwei Nachkommastellen).

m
m
Ansatz: x₁ = ½ · (x₀ + 10 : x₀); ungerundet weiterrechnen.
Rechenweg: x₁ = ½ · (3 + 3,3333) = 3,16667; x₂ = ½ · (3,16667 + 3,15789) = 3,16228.
Lösung: a) 3,17 m b) 3,16 m
Vollständige Lösung
x₁ = ½ · (3 + 10/3) ≈ 3,1667 m, x₂ = ½ · (3,1667 + 10 : 3,1667) ≈ 3,1623 m. Zum Vergleich: √10 ≈ 3,1623 — schon x₂ stimmt auf vier Nachkommastellen.
A3
Wurzel aus 7 einschachteln
AFB II

√7 liegt im Intervall [2; 3]. Es wird zweimal halbiert.

a) Gib die untere Grenze nach dem ersten Schritt an. b) Gib die obere Grenze nach dem zweiten Schritt an.

Ansatz: Mitte bilden, quadrieren, mit 7 vergleichen.
Rechenweg: m = 2,5: 6,25 < 7 → [2,5; 3]; m = 2,75: 7,5625 > 7 → [2,5; 2,75].
Lösung: a) 2,5 b) 2,75
Vollständige Lösung
Schritt 1: m = 2,5, m² = 6,25 < 7 → √7 liegt rechts, neues Intervall [2,5; 3]. Schritt 2: m = 2,75, m² = 7,5625 > 7 → √7 liegt links, neues Intervall [2,5; 2,75].
A4
Wie oft halbieren?
AFB II

Die Intervallhalbierung startet mit [1; 2].

a) Wie viele Schritte sind mindestens nötig, bis die Breite kleiner als 0,01 ist? b) … bis sie kleiner als 0,0001 ist?

Ansatz: Gesucht ist das kleinste n mit 1/2ⁿ < 0,01, also 2ⁿ > 100.
Rechenweg: 2⁶ = 64, 2⁷ = 128 > 100; 2¹³ = 8192, 2¹⁴ = 16384 > 10000.
Lösung: a) 7 b) 14
Vollständige Lösung
Nach n Schritten ist die Breite 1/2ⁿ. 1/2ⁿ < 0,01 heißt 2ⁿ > 100 — das gilt ab n = 7. 1/2ⁿ < 0,0001 heißt 2ⁿ > 10000 — ab n = 14. Für zwei Stellen mehr braucht man also etwa sieben Schritte mehr.
A5
Medikament im Blut
AFB II

Von 400 mg eines Wirkstoffs ist nach jeder Halbwertszeit noch die Hälfte im Körper: aₙ = 400 · 0,5ⁿ (in mg).

a) Wie viel ist nach 4 Halbwertszeiten noch vorhanden? b) Nach wie vielen Halbwertszeiten sind es erstmals weniger als 1 mg?

mg
Ansatz: Einsetzen; für b) die Werte weiter halbieren.
Rechenweg: 400 · 0,5⁴ = 400 : 16 = 25; 400 : 256 ≈ 1,56 und 400 : 512 ≈ 0,78.
Lösung: a) 25 mg b) 9
Vollständige Lösung
a₄ = 400 · 0,5⁴ = 25 mg. a₈ = 400 : 256 ≈ 1,56 mg ist noch über 1 mg, a₉ = 400 : 512 ≈ 0,78 mg darunter. Der Grenzwert der Folge ist 0 mg — erreicht wird er nie.
A6
Tee kühlt ab
AFB II

Die Temperatur eines Tees wird modelliert durch T(t) = 20 + 70 · 0,9ᵗ (t in Minuten, T in °C).

a) Berechne T(10) (zwei Nachkommastellen). b) Gegen welche Temperatur strebt T(t) für t → ∞?

°C
°C
Ansatz: Einsetzen; für b) überlegen, wogegen 0,9ᵗ strebt.
Rechenweg: 0,9¹⁰ ≈ 0,34868; 70 · 0,34868 ≈ 24,41; 0,9ᵗ → 0.
Lösung: a) 44,41 °C b) 20 °C
Vollständige Lösung
T(10) = 20 + 70 · 0,9¹⁰ ≈ 20 + 24,41 = 44,41 °C. Da 0,9ᵗ → 0 für t → ∞, gilt T(t) → 20 °C. Die Raumtemperatur ist die Grenze, der Tee wird nie kälter.
A7
Streichholz-Muster
AFB II

Legt man n Quadrate aus Streichhölzern in einer Reihe, braucht man aₙ = 3n + 1 Hölzer.

a) Wie viele Hölzer braucht man für 10 Quadrate? b) Wie viele Hölzer kommen pro weiterem Quadrat dazu (rekursiv aₙ₊₁ = aₙ + d)? Gib d an.

Hölzer
Ansatz: Explizit einsetzen; für b) aₙ₊₁ − aₙ berechnen.
Rechenweg: a₁₀ = 3 · 10 + 1; aₙ₊₁ − aₙ = 3(n + 1) + 1 − (3n + 1).
Lösung: a) 31 b) 3
Vollständige Lösung
a₁₀ = 3 · 10 + 1 = 31 Hölzer. aₙ₊₁ − aₙ = 3, also rekursiv a₁ = 4, aₙ₊₁ = aₙ + 3: Jedes neue Quadrat braucht drei Hölzer, weil eine Seite schon liegt. Diese Folge wächst unbegrenzt und hat keinen Grenzwert.
A8
Ab wann nah genug?
AFB II

Gegeben ist aₙ = (3n + 2) : n.

a) Gib den Grenzwert g an. b) Ab welchem n ist der Abstand |aₙ − g| kleiner als 0,01? Gib das kleinste n an.

Ansatz: Umschreiben: (3n + 2) : n = 3 + 2/n.
Rechenweg: g = 3; |aₙ − 3| = 2/n < 0,01 ⇔ n > 200.
Lösung: a) 3 b) 201
Vollständige Lösung
aₙ = 3 + 2/n, und 2/n → 0, also g = 3. Der Abstand ist 2/n. 2/n < 0,01 gilt für n > 200, das kleinste solche n ist 201 (für n = 200 ist der Abstand genau 0,01).
A9
Perioden umwandeln
AFB II

Zahlen mit Periode lassen sich als Bruch schreiben.

a) Schreibe 0,49̅ als abbrechende Dezimalzahl. b) Schreibe 0,2̅7̅ als vollständig gekürzten Bruch und gib den Nenner an.

Ansatz: a) Wie bei 0,9̅ = 1; b) zweistellige Periode → mit 100 multiplizieren.
Rechenweg: a) 0,49̅ = 0,4 + 0,09̅ = 0,4 + 0,1; b) 99x = 27, x = 27/99 = 3/11.
Lösung: a) 0,5 b) 11
Vollständige Lösung
a) 0,09̅ ist ein Zehntel von 0,9̅ = 1, also 0,1. Damit 0,49̅ = 0,5. b) x = 0,2̅7̅: 100x − x = 27, x = 27/99 = 3/11.
A10
Hyperbel 1/x
AFB II

Gegeben ist f(x) = 1/x.

a) Ab welchem x gilt f(x) < 0,002? Gib die Grenze an. b) Berechne f(0,001).

Ansatz: 1/x < d gilt für x > 1/d.
Rechenweg: 1/0,002 = 500; 1 : 0,001 = 1000.
Lösung: a) 500 b) 1000
Vollständige Lösung
a) 1/x < 0,002 gilt für alle x > 1/0,002 = 500. b) f(0,001) = 1000. Nahe bei 0 werden die Werte riesig, weit rechts winzig — die x-Achse ist Asymptote, bei x = 0 gibt es keinen Grenzwert.