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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben vom Bruch bis zum Grenzwert — wer sie sicher löst, hat die ersten Punkte der Arbeit schon.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Regel kennen, anwenden, ausrechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Arbeit — von der Periode bis zum Grenzwert einer Folge.

A1
Bruch als Dezimalzahl
AFB I

Schreibe 7/8 als Dezimalzahl.

Schriftlich dividieren: Rechne 7 : 8, bis der Rest 0 ist.
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7 : 8 = 0,875 (Rest 0, also abbrechend), 7/8 = 0,875
A2
Länge der Periode
AFB I

Es gilt 2/11 = 0,1̅8̅. Wie viele Ziffern hat die Periode?

Ziffern
Periode: Die Periode ist der Ziffernblock unter dem Strich, der sich endlos wiederholt.
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2/11 = 0,181818…, Periode „18“ — Periodenlänge = 2
A3
Periode in einen Bruch
AFB I

Schreibe 0,7̅ als Bruch z/9. Gib den Zähler z an.

Einstellige Periode: 0,a̅ = a/9, denn 10x − x = a.
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10x = 7,7̅, 10x − x = 7, x = 7/9, also z = 7
A4
Abbrechende Dezimalzahl
AFB I

0,35 soll als vollständig gekürzter Bruch geschrieben werden. Gib den Nenner an.

Zehnerbruch: Zwei Nachkommastellen → Nenner 100, dann kürzen.
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0,35 = 35/100 = 7/20, Nenner = 20
A5
Ein Schritt Intervallhalbierung
AFB I

√3 liegt im Intervall [1; 2]. Berechne das Quadrat der Intervallmitte.

Mitte: m = (u + o) : 2, danach quadrieren.
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m = (1 + 2) : 2 = 1,5; 1,5² = 2,25 < 3, also liegt √3 rechts von m. m² = 2,25
A6
Ein Heron-Schritt
AFB I

Berechne mit dem Heron-Verfahren für a = 5 und den Startwert x₀ = 2 den Wert x₁.

Heron: x₁ = ½ · (x₀ + a : x₀).
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x₁ = ½ · (2 + 5 : 2) = ½ · 4,5 = 2,25
A7
Breite nach Halbierungen
AFB I

Ein Intervall der Breite 1 wird fünfmal halbiert. Die neue Breite ist 1/n. Gib n an.

Halbieren: Nach k Schritten ist die Breite 1/2ᵏ.
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1/2⁵ = 1/32, also n = 32
A8
Glied einer Folge
AFB I

Für die Folge gilt aₙ = (2n + 1) : n. Berechne a₄.

Explizit: Setze n = 4 direkt in die Formel ein.
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a₄ = (2 · 4 + 1) : 4 = 9 : 4 = 2,25
A9
Rekursive Folge
AFB I

Es gilt a₁ = 3 und aₙ₊₁ = 2 · aₙ − 1. Berechne a₄.

Rekursiv: Jedes Glied aus dem vorigen: erst a₂, dann a₃, dann a₄.
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a₂ = 5, a₃ = 9, a₄ = 2 · 9 − 1 = 17
A10
Grenzwert ablesen
AFB I

Gegen welche Zahl strebt aₙ = 5 + 1/n für n → ∞?

Nullfolge: 1/n wird beliebig klein.
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1/n → 0, also aₙ → 5 + 0 = 5