Die 12 häufigsten Fehler
1Der Taschenrechner zeigt eine abbrechende Zahl
So wird oft gerechnet: Laut Rechner ist 2/3 = 0,6666666667, also abbrechend.
Richtig ist: 2/3 = 0,6̅ ist periodisch. Die letzte Ziffer der Anzeige ist gerundet.
Rechneranzeigen sind immer gerundet.
2Die Periode wird zu kurz markiert
So wird oft gerechnet: 0,363636… = 0,36̅
Richtig ist: 0,363636… = 0,3̅6̅ — der Strich gehört über den ganzen Block, der sich wiederholt.
Periode = kleinster sich wiederholender Ziffernblock.
3Mit der falschen Zehnerpotenz multipliziert
So wird oft gerechnet: x = 0,3̅6̅: 10x − x = 3,6 ⇒ x = 0,4
Richtig ist: Zweistellige Periode ⇒ mit 100 multiplizieren: 99x = 36 ⇒ x = 4/11.
Faktor 10ᵏ, k = Länge der Periode.
4Jede Wurzel gilt als irrational
So wird oft gerechnet: √49 ist irrational, weil es eine Wurzel ist.
Richtig ist: √49 = 7 ist natürlich. Irrational ist √n nur, wenn n keine Quadratzahl ist.
Erst prüfen, ob unter der Wurzel eine Quadratzahl steht.
5Der Beweis wird durch Ausprobieren ersetzt
So wird oft gerechnet: Ich habe viele Brüche quadriert, keiner ergibt 2 — also ist √2 irrational.
Richtig ist: Ausprobieren kann nie alle Brüche erfassen. Erst der indirekte Beweis schließt jeden Bruch aus.
Beispiele zeigen etwas, beweisen aber keine Allaussage.
6Bei der Intervallhalbierung wird m statt m² verglichen
So wird oft gerechnet: √2 in [1; 2]: m = 1,5 < 2 ⇒ √2 liegt rechts.
Richtig ist: Verglichen wird m² = 2,25 mit 2: m² > 2 ⇒ √2 liegt links von m.
Immer die Mitte quadrieren.
7Beim Heron-Verfahren fehlt die Klammer
So wird oft gerechnet: x₁ = x₀ + 2 : x₀ : 2 = 2 + 0,5 = 2,5
Richtig ist: x₁ = (x₀ + 2 : x₀) : 2 = (2 + 1) : 2 = 1,5 — die ganze Summe wird halbiert.
Mittelwert: erst addieren, dann halbieren.
8Zwischenergebnisse werden gerundet
So wird oft gerechnet: x₁ = 1,4 gerundet, damit weiter: x₂ = 1,4143 …
Richtig ist: Mit dem ungerundeten Wert (Ans-Taste, Zelle darüber) weiterrechnen, nur das Ergebnis runden.
Runden kostet Genauigkeit — erst am Ende.
9Absoluter Bezug in der Tabelle
So wird oft gerechnet: A2: =($A$1+2/$A$1)/2 nach unten ausgefüllt — alle Zeilen zeigen 1,5.
Richtig ist: A2: =(A1+2/A1)/2 — der relative Bezug wandert beim Ausfüllen mit (A3 bezieht sich auf A2).
Iteration braucht den Bezug auf die Zeile darüber.
10Nummer und Wert werden verwechselt
So wird oft gerechnet: aₙ = 1/n: a₃ = 3
Richtig ist: a₃ ist das dritte Glied: a₃ = 1/3.
Der Index zählt, der Wert steht in der Formel.
11Grenzwert muss erreicht werden
So wird oft gerechnet: 1/n hat keinen Grenzwert, weil kein Glied 0 ist.
Richtig ist: 1/n kommt der 0 beliebig nahe, also lim 1/n = 0 — erreicht werden muss er nicht.
Grenzwert = beliebig nah, nicht gleich.
120,999… wird für kleiner als 1 gehalten
So wird oft gerechnet: 0,9̅ < 1, es fehlt ja immer ein kleines Stück.
Richtig ist: Mit unendlich vielen Neunen fehlt nichts: 10x − x = 9 ⇒ 0,9̅ = 1.
Endlich viele Neunen: kleiner als 1; unendlich viele: gleich 1.