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Warum 0,999… = 1 ist

Unendlich viele Neunen — und am Ende fehlt gar nichts mehr.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung.

A1
Genau 1?
AFB I

Welche Zahlen sind genau gleich 1?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Mit endlich vielen Neunen fehlt immer noch ein kleines Stück — 100 Neunen oder 9 Neunen sind beide kleiner als 1. Erst die unendliche Periode ist gleich 1.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zu Neunerperioden.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: 0,9̅ ist keine Zahl „knapp unter 1“, sondern eine andere Schreibweise für 1.
A3
Die Begründung in Worten
AFB I

Setze die Begriffe ein — einer bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Folge 0,9; 0,99; 0,999; … hat nach n Neunen den Abstand zu 1. Dieser Abstand wird kleiner als jede Zahl. Deshalb ist 1 der der Folge, und 0,9̅ ist 1. Mit nur endlich vielen Neunen ist die Zahl dagegen als 1.

„größer“ bleibt übrig: Keine Zahl mit lauter Neunen hinter „0,“ ist größer als 1.
A4
Kleiner, gleich oder größer als 1?
AFB I

Vergleiche jede Zahl mit 1.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1kleiner als 1
2gleich 1
3größer als 1
0,9̅8̅ = 0,9898… = 98/99 ist kleiner als 1. 0,49̅ = 0,5, also ergibt die Summe genau 1.
A5
Wie groß ist der Abstand?
AFB I

Der Abstand von 0,999999 (sechs Neunen) zu 1 lässt sich als 1/n schreiben. Gib n an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
1 − 0,999999 = 0,000001 = 1/1 000 000 = 1/10⁶. Jede Neune mehr teilt den Abstand durch 10.
A6
Die Umformungskette ordnen
AFB II

Bringe die Schritte der Herleitung 0,9̅ = 1 in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1x = 0,9̅
210x = 9,9̅
310x − x = 9,9̅ − 0,9̅
49x = 9
5x = 1
Entscheidend ist Schritt 3: Hinter dem Komma stehen bei 10x und x dieselben unendlich vielen Neunen — sie heben sich genau auf.
A7
Neunerperioden aufrunden
AFB II

Schreibe jede Zahl ohne Periode (Dezimalzahl mit Komma eingeben).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. 0,39̅
  2. 5,19̅
  3. 12,9̅
  4. 0,0009̅
Die Neunerperiode verschwindet und die Stelle direkt davor wird um 1 größer: 0,0009̅ = 0,001. Jede abbrechende Dezimalzahl hat so eine zweite Schreibweise.
A8
Zwei Schreibweisen
AFB II

Finde die sechs Paare aus periodischer Dezimalzahl und Bruch.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
0,19̅ = 0,2 = 1/5 und 0,49̅ = 0,5 = 1/2 — Neunerperioden sind heimlich abbrechende Zahlen.
A9
Fehlersuche in der Diskussion
AFB II

Sechs Aussagen aus einer Klassendiskussion — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der Kern jedes Missverständnisses: endlich viele Neunen mit unendlich vielen verwechseln.
A10
Wie weit ist es bis 1?
AFB III

Schätze den Abstand jeder Zahl zu 1 ein.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = 0,1, 2 = 0,01, 3 = 0,001, 4 = kleiner als jede positive Zahl, 5 = größer als 0,1. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = 0,15 = größer als 0,1
0,9
0,99
0,999
0,9̅
0,8̅
0,8̅ = 8/9 liegt 1/9 ≈ 0,111 unter 1 — mehr als 0,1. Bei 0,9̅ ist der Abstand kleiner als jede positive Zahl, also 0.