MINT lernen

Warum 0,999… = 1 ist

Eine hitzige Klassendiskussion und ein uraltes Rätsel um einen Wettlauf.

1

„Fast 1“ oder genau 1?

AFB I–II

In der Klasse behauptet Tom: „\(0{,}\overline9\) ist nur fast 1. Egal wie viele Neunen man schreibt, es fehlt immer ein winziges Stück.“

  1. Berechne den Abstand zu 1 für 0,9, 0,99 und 0,99999 und gib den Abstand nach \(n\) Neunen allgemein an.
  2. Weise mit einer Umformungskette nach, dass \(0{,}\overline9=1\) ist.
  3. Erläutere, an welcher Stelle Toms Argument nicht mehr stimmt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne \(1-0{,}9\) usw. und achte auf die Zahl der Nullen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(x=0{,}\overline9\) und multipliziere mit 10.
Hinweis zu Aufgabe c)
Unterscheide endlich viele Neunen von der Periode.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(1-0{,}9=0{,}1\), \(1-0{,}99=0{,}01\), \(1-0{,}99999=0{,}00001\). Nach \(n\) Neunen ist der Abstand \(\frac1{10^n}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(x=0{,}\overline9\Rightarrow10x=9{,}\overline9\Rightarrow10x-x=9\Rightarrow9x=9\Rightarrow x=1\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für jede endliche Anzahl Neunen hat Tom recht: Der Abstand \(\frac1{10^n}\) ist positiv. \(0{,}\overline9\) hat aber unendlich viele Neunen und ist der Grenzwert dieser Folge. Der Abstand wird kleiner als jede positive Zahl — also bleibt gar nichts übrig.

2

Achilles und die Schildkröte

AFB II–III

Der griechische Philosoph Zenon erzählt: Achilles läuft zehnmal so schnell wie eine Schildkröte, die 10 m Vorsprung hat. Läuft Achilles die 10 m, ist die Schildkröte 1 m weiter; läuft er diesen Meter, ist sie 0,1 m weiter; und so fort. Zenon folgert: „Achilles muss unendlich viele Etappen laufen — also holt er die Schildkröte nie ein.“

  1. Ermittle die Strecke, die Achilles nach 1, 2, 3 und 4 Etappen insgesamt gelaufen ist.
  2. Zeige, dass die Strecken sich dem Wert \(11{,}\overline1\) m \(=\frac{100}9\) m nähern.
  3. Deute das Ergebnis im Wettlauf.
  4. Nimm Stellung zu Zenons Schluss.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Addiere 10 + 1 + 0,1 + …
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze \(x=11{,}\overline1\) und rechne \(10x-x\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Wo sind beide Läufer nach \(\frac{100}9\) m?
Hinweis zu Aufgabe d)
Kann eine Summe unendlich vieler Strecken endlich sein? Denke an \(0{,}\overline9\).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

10 m; 11 m; 11,1 m; 11,11 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nach \(n\) Etappen fehlt bis \(11{,}\overline1\) nur noch \(\frac{1{,}\overline1}{10^{n-1}}\) m — der Abstand geht gegen 0. \(x=11{,}\overline1\): \(10x=111{,}\overline1\), \(9x=100\), \(x=\frac{100}9\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nach \(\frac{100}9\approx11{,}1\) m hat die Schildkröte genau \(\frac{100}9-10=\frac{10}9\) m zurückgelegt — ein Zehntel von Achilles’ Strecke. Beide sind an derselben Stelle: Achilles holt sie dort ein und überholt sie danach.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Zenons Schluss ist falsch. Unendlich viele Etappen können zusammen eine endliche Strecke ergeben, weil die Etappen schnell genug kleiner werden — genau wie \(0{,}9+0{,}09+0{,}009+\ldots=0{,}\overline9=1\). Auch die Zeit dafür ist endlich, deshalb überholt Achilles die Schildkröte.