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Das Volumen des Zylinders

Zwei Sachaufgaben über ein Säulenaquarium und die sparsamste Konservendose.

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Das Säulenaquarium

AFB I–II

Ein Säulenaquarium ist ein gläserner Zylinder mit dem Innendurchmesser 50 cm und der Innenhöhe 120 cm. Am Boden liegt eine 10 cm hohe Kiesschicht. Das Wasser reicht bis 8 cm unter den oberen Rand. Vereinfachend zählt nur das Wasser oberhalb des Kieses.

Das leere Glas wiegt 45 kg. Der Unterschrank ist für höchstens 300 kg zugelassen. 1 l Wasser wiegt 1 kg, 1 l Kies 1,6 kg.

Säulenaquarium im Schrägbild
d = 50 cm120 cm8 cm10 cm KiesDeko-Säule
Unten Kies, darüber Wasser; die violette Deko-Säule gehört zu Teil c).
  1. Gib den Radius und die Höhe der Wassersäule an.
  2. Berechne die Wassermenge in Litern.
  3. Eine massive Deko-Säule (Zylinder, d = 10 cm, h = 40 cm) wird ganz ins Wasser gestellt. Bestimme, um wie viel Zentimeter der Wasserspiegel steigt.
  4. Überprüfe, ob der Unterschrank das gefüllte Aquarium (ohne Deko-Säule) tragen darf.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Von 120 cm gehen unten der Kies und oben der freie Rand ab.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(V=\pi r^2 h\) in cm³, dann 1000 cm³ = 1 l.
Hinweis zu Aufgabe c)
Das verdrängte Volumen verteilt sich über die ganze Grundfläche des Aquariums: \(\Delta h=\dfrac{V_{\text{Säule}}}{\pi r^2}\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Addiere Glas, Kies und Wasser. Das Kiesvolumen ist wieder ein Zylinder.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(r=25\,\text{cm}\); Wasserhöhe \(120\,\text{cm}-10\,\text{cm}-8\,\text{cm}=102\,\text{cm}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(V=\pi\cdot 25^2\cdot 102\,\text{cm}^3=63\,750\pi\,\text{cm}^3\approx 200\,277\,\text{cm}^3\approx 200{,}3\,\text{l}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(V_{\text{Säule}}=\pi\cdot 5^2\cdot 40\,\text{cm}^3=1000\pi\,\text{cm}^3\approx 3141{,}6\,\text{cm}^3\).

\(\Delta h=\dfrac{1000\pi}{625\pi}\,\text{cm}=1{,}6\,\text{cm}\). Der Wasserspiegel steigt um 1,6 cm; es bleiben 6,4 cm bis zum Rand.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Kies: \(\pi\cdot 25^2\cdot 10\,\text{cm}^3\approx 19\,635\,\text{cm}^3\approx 19{,}6\,\text{l}\), also \(\approx 31{,}4\,\text{kg}\).

Gesamt: \(45\,\text{kg}+31{,}4\,\text{kg}+200{,}3\,\text{kg}\approx 276{,}7\,\text{kg}<300\,\text{kg}\). Der Schrank darf das Aquarium tragen, die Reserve ist mit gut 23 kg aber knapp.

2

Die sparsamste Konservendose

AFB II–III

Ein Hersteller sucht für eine neue Konservendose mit 850 ml Inhalt die Maße, bei denen am wenigsten Blech gebraucht wird. Die Dose ist ein geschlossener Zylinder; Falze werden vernachlässigt.

Die gesuchte Dose
rh850 ml
Radius \(r\) und Höhe \(h\) sind frei wählbar — nur das Volumen ist fest.
  1. Stelle eine Formel für die Höhe \(h\) in Abhängigkeit vom Radius \(r\) auf (\(r\) und \(h\) in cm).
  2. Ermittle für \(r=5\,\text{cm}\) die Höhe und die Oberfläche der Dose.
  3. Vergleiche die Oberflächen für \(r=4\,\text{cm}\), \(5\,\text{cm}\), \(6\,\text{cm}\) und \(7\,\text{cm}\) in einer Tabelle.
  4. Im Internet steht: „Die blechsparendste Dose ist genau so hoch wie breit.“ Im Supermarkt sind viele 850-ml-Dosen aber deutlich höher. Beurteile beide Beobachtungen mithilfe deiner Tabelle und prüfe die Aussage mit \(r=5{,}1\,\text{cm}\).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
850 ml = 850 cm³. Stelle \(V=\pi r^2 h\) nach \(h\) um.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst \(h\) aus a), dann \(O=2\pi r^2+2\pi r h\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne für jeden Radius zuerst \(h\), dann \(O\). Wo ist \(O\) am kleinsten?
Hinweis zu Aufgabe d)
„So hoch wie breit“ heißt \(h=d=2r\). Neben dem Blech zählen auch Etikett, Griffigkeit, Stapeln und Regalhöhe.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(850=\pi r^2 h\;\Rightarrow\; h=\dfrac{850}{\pi r^2}\) (h in cm).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h=\dfrac{850}{25\pi}\,\text{cm}\approx 10{,}82\,\text{cm}\).

\(O=2\pi\cdot 25\,\text{cm}^2+2\pi\cdot 5\cdot 10{,}82\,\text{cm}^2\approx 157{,}08\,\text{cm}^2+340{,}00\,\text{cm}^2\approx 497{,}08\,\text{cm}^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(r=4\): \(h\approx 16{,}91\,\text{cm}\), \(O\approx 525{,}53\,\text{cm}^2\) · \(r=5\): \(h\approx 10{,}82\,\text{cm}\), \(O\approx 497{,}08\,\text{cm}^2\) · \(r=6\): \(h\approx 7{,}52\,\text{cm}\), \(O\approx 509{,}53\,\text{cm}^2\) · \(r=7\): \(h\approx 5{,}52\,\text{cm}\), \(O\approx 550{,}73\,\text{cm}^2\).

Bei \(r=5\,\text{cm}\) ist die Oberfläche am kleinsten. Sehr schmale und sehr breite Dosen brauchen mehr Blech — das Minimum liegt zwischen 4 cm und 6 cm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für \(r=5{,}1\,\text{cm}\): \(h\approx 10{,}40\,\text{cm}\approx d=10{,}2\,\text{cm}\) und \(O\approx 496{,}76\,\text{cm}^2\) — noch etwas weniger als bei \(r=5\,\text{cm}\). Die Aussage passt also zu den Werten.

Der Unterschied zu \(r=4\,\text{cm}\) (deutlich höhere Dose) beträgt nur rund 29 cm², etwa 6 %. Höhere Dosen sind leichter zu greifen, bieten mehr Etikettfläche und passen besser in Regale — daher nehmen Hersteller etwas mehr Blech in Kauf.

Urteil: Mathematisch ist „so hoch wie breit“ nahezu optimal; die höheren Supermarktdosen sind kein Rechenfehler, sondern ein Kompromiss.