MINT lernen

Das Volumen des Zylinders

Auf jeder Dose steht, wie viel hineinpasst — mit zwei Linealen lässt sich das nachprüfen.

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Vom Prisma zum Zylinder

Für jedes Prisma gilt \(V=G\cdot h\) (Klasse 8). Ein Zylinder verhält sich genauso — nur ist seine Grundfläche ein Kreis.

  • Prisma:Volumen = Grundfläche \(G\) mal Höhe \(h\).
  • Annäherung:Prismen mit regelmäßigem 6-, 12-, 24-Eck als Grundfläche kommen dem Zylinder immer näher.
  • Grundfläche:beim Zylinder der Kreis mit \(G=\pi r^2\).
  • Volumen:\(V=G\cdot h=\pi r^2\cdot h\).

Schiebe die beiden Lineale an die Dose: die Null des oberen an den linken Rand, die Null des linken auf den Tisch. Lies Durchmesser und Höhe ab und vergleiche das Volumen mit dem Aufdruck.

Eine Dose ausmessen

Halte fest: Aus den gemessenen Maßen ergibt \(V=\pi r^2\cdot h\) etwas mehr als der Aufdruck — oben bleibt Luft, und Deckel und Boden sind nach innen gewölbt.

Merke

Volumen des Zylinders: \(V=\pi r^2\cdot h\)

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Umstellen und Einheiten

Ist das Volumen bekannt, lässt sich die Formel nach der Höhe oder nach dem Radius umstellen.

Herleitung:

\(V=\pi r^2\cdot h\)
| : (π · r²)
Start: Höhe gesucht, \(V\) und \(r\) bekannt.
\(h=\dfrac{V}{\pi r^2}\)
Ergebnis
Volumen durch die Grundfläche teilen.
\(V=\pi r^2\cdot h\)
| : (π · h)
Start: Radius gesucht, \(V\) und \(h\) bekannt.
\(r^2=\dfrac{V}{\pi h}\)
| √
Jetzt steht \(r^2\) allein.
\(r=\sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}\)
Ergebnis
Nur die positive Wurzel — ein Radius ist nie negativ.
  • Milliliter:\(1\,\text{cm}^3=1\,\text{ml}\)
  • Liter:\(1\,\text{dm}^3=1\,\text{l}=1000\,\text{cm}^3\)
  • Kubikmeter:\(1\,\text{m}^3=1000\,\text{l}\)
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Allgemeine Hinweise

Erst halbieren, dann quadrieren

Aus \(d=66\,\text{mm}\) wird \(r=3{,}3\,\text{cm}\), erst dann \(r^2=10{,}89\,\text{cm}^2\).

Eine Einheit für alles

mm und cm nicht mischen. Wer alle Längen in cm einsetzt, erhält cm³ — also direkt ml.

Überschlag mit π ≈ 3

\(r=5\,\text{cm}\), \(h=10\,\text{cm}\): \(3\cdot 25\cdot 10=750\) — genau sind es rund \(785\,\text{cm}^3\).

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