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Oberfläche des Zylinders

Zehn Übungen rund um Rohr, Rolle und Dose — und die Frage, wie viel Material wirklich drumherum steckt.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei den Rechenaufgaben helfen gestufte Tipps.

A1
Das passende Netz
AFB I

Ein geschlossener Zylinder hat den Radius r = 2,5 cm und die Höhe h = 8 cm. Welche Teile gehören zu seinem Netz?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Länge des Mantelrechtecks ist der Umfang des Bodens: 2π · 2,5 cm ≈ 15,71 cm. 7,85 cm wäre nur π · r — damit reicht der Mantel bloß halb um den Boden.
A2
Welche Flächen gibt es wirklich?
AFB I

Sortiere die Gegenstände danach, aus welchen Flächen ihre Oberfläche besteht.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1nur Mantel
2Mantel + 1 Kreis
3Mantel + 2 Kreise
Offen an beiden Enden heißt: nur Mantel. Ein Gefäß hat Boden, aber keinen Deckel. Erst ein geschlossener Körper hat O = 2πr² + 2πrh.
A3
Welche Formel brauchst du?
AFB I

Gemischt mit Umfang und Kreisfläche: Welche Formel beantwortet die Frage?

Setze die passenden Kreuze. Enter setzt und löscht.
FrageU = 2πrA = πr²M = 2πrh
Wie lang muss ein Etikett sein, damit es einmal um eine Dose reicht?
Wie viel Papier braucht das Etikett, wenn es die ganze Dosenwand bedeckt?
Wie groß ist der Deckel einer Dose?
Wie groß ist ein runder Bierdeckel?
Wie viel Blech braucht ein Ofenrohr ohne Enden?
Die Länge des Etiketts ist eine Länge (Umfang), seine Fläche ist der Mantel. Wer Länge und Fläche auseinanderhält, wählt sofort richtig.
A4
Rechenkette: Der Rundballen
AFB II

Ein Heu-Rundballen hat den Durchmesser 1,25 m und ist 1,2 m breit. Er wird ringsum und an beiden Stirnseiten mit Folie umwickelt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Umfang des Ballens m
  2. Mantelfläche m²
  3. beide Stirnflächen zusammen m²
  4. Folie bei 6 Lagen über die ganze Oberfläche m²
Mit r = 0,625 m: M = π · 1,25 m · 1,2 m ≈ 4,71 m², 2πr² ≈ 2,45 m², also O ≈ 7,17 m². Sechs Lagen: 6 · 7,17 m² ≈ 43,0 m². Erst am Ende runden, sonst summieren sich Rundungsfehler.
Ansatz: Der Radius ist 1,25 m : 2 = 0,625 m. Der Umfang ist π · d.
Zwischenschritt: M = Umfang · Breite, Stirnflächen: 2 · π · 0,625².
Lösung: 3,93 m · 4,71 m² · 2,45 m² · 6 · 7,17 m² ≈ 43,0 m²
A5
Die Stumpenkerze
AFB II

Eine zylinderförmige Kerze hat den Durchmesser 6 cm und ist 0,15 m hoch. Sie wird rundherum (auch oben und unten) in Folie eingeschlagen. Wie viel cm² Folie braucht man mindestens?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
r = 3 cm und h = 15 cm — beides in cm! O = 2π · 3 · (3 + 15) cm² = 108π cm² ≈ 339,29 cm². Typische Fehler: mit r = 6 cm (≈ 791,68 cm²) oder mit h = 0,15 (≈ 59,38 cm²) gerechnet.
Achtung: Zwei Fallen: Welche Größe ist gegeben — Radius oder Durchmesser? Und in welcher Einheit steht die Höhe?
Rechenweg: r = 3 cm, h = 15 cm, dann O = 2πr(r + h).
Lösung: O = 108π cm² ≈ 339,29 cm²
A6
Rückwärts: die Höhe
AFB II

Eine geschlossene Blechdose hat den Radius 4 cm. Für ihre Oberfläche werden genau 400 cm² Blech verbraucht. Wie hoch ist die Dose? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
400 = 2π · 4 · (4 + h) ⇒ 4 + h = 400 : (8π) ≈ 15,92 ⇒ h ≈ 11,92 cm. Viele vergessen am Ende, die 4 cm des Radius wieder abzuziehen.
Ansatz: Nutze O = 2πr(r + h) und setze O = 400 und r = 4 ein.
Rechenweg: Teile durch 2π · 4 = 8π. Dann steht (4 + h) allein.
Lösung: 4 + h ≈ 15,92, also h ≈ 11,92 cm
A7
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Sätze zu einem Zylinder mit r = 3 cm und h = 7 cm — drei davon sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der Klammerfehler ist in Arbeiten am häufigsten: 2πr(r + h) heißt „2πr mal die Summe“, nicht „plus“.
A8
Der Farbroller
AFB III

Ein Farbroller hat den Radius 2,5 cm und ist 18 cm breit. Eine Wand ist 2,5 m hoch und 4 m breit. Schätze: Wie viele Umdrehungen braucht der Roller mindestens, um die Wand einmal ganz zu streichen?

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
100 Umdrehungen800 Umdrehungen
Pro Umdrehung rollt der Roller seinen Mantel ab: M = 2π · 2,5 cm · 18 cm ≈ 283 cm². Die Wand hat 250 cm · 400 cm = 100 000 cm². 100 000 : 283 ≈ 354 Umdrehungen — ohne Überlappung, in echt also mehr.
Ansatz: Welche Fläche färbt der Roller bei einer Umdrehung? Denk an das Netz.
Zwischenschritt: Wand in cm² umrechnen: 2,5 m = 250 cm, 4 m = 400 cm.
Lösung: 100 000 cm² : 282,7 cm² ≈ 354 Umdrehungen
A9
Blech mit Verschnitt
AFB III

Eine Dose (d = 8 cm, h = 11 cm) wird aus Blech gefertigt. Für die Naht überlappt der Mantel um 0,5 cm. Boden und Deckel werden aus je einem Quadrat mit 8 cm Seitenlänge ausgestanzt.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    In der Praxis zählt nicht nur die Oberfläche, sondern das verbrauchte Blech: Überlappung und Verschnitt kommen dazu. Bei Kreisen aus Quadraten ist gut ein Fünftel Abfall.
    Ansatz: Trenne: Was ist Oberfläche der Dose, was ist verbrauchtes Blech?
    Lösung: Mantelblech ≈ 281,96 cm², Quadrate 128 cm², Abfall ≈ 21,5 %
    A10
    Was passiert mit dem Mantel?
    AFB III

    Radius und Höhe eines Zylinders werden verändert. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halbiert sich, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt sich, 4 = vervierfacht sich, 5 = verachtfacht sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = halbiert sich5 = verachtfacht sich
    Mantel, wenn h verdoppelt wird
    Mantel, wenn r halbiert und h verdoppelt wird
    Oberfläche, wenn r und h verdoppelt werden
    Mantel, wenn r verdoppelt und h vervierfacht wird
    Mantel, wenn r halbiert wird
    M = 2πrh hängt von r und h jeweils einfach ab — die Faktoren werden multipliziert. Verdoppelt man r und h, wächst jeder Summand von O = 2πr² + 2πrh um den Faktor 4.