Die Litfaßsäule
AFB I–IIEine Litfaßsäule ist ein Zylinder mit dem Durchmesser 1,36 m. Plakate dürfen nur zwischen 0,5 m und 3,2 m Höhe geklebt werden. Darüber sitzt ein Dach.
Eine Werbefirma verspricht: „Auf jeder Säule stehen Ihnen mehr als 12 m² Werbefläche zur Verfügung.“
- Nenne die Form, die die Plakatfläche hat, wenn man sie abrollt, und ihre beiden Seitenlängen als Term.
- Berechne die Plakatfläche.
- Ein Plakat ist 1,19 m breit und 0,84 m hoch; Plakate werden nicht geknickt oder zerschnitten. Bestimme, wie viele Plakate höchstens nebeneinander und übereinander auf die Säule passen.
- Überprüfe das Versprechen der Werbefirma — auch im Hinblick auf die Fläche, die man mit ganzen Plakaten tatsächlich nutzen kann.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Abgerollt ist die Plakatfläche ein Rechteck. Länge: Umfang \(\pi\cdot d=\pi\cdot 1{,}36\,\text{m}\); Breite: \(3{,}2\,\text{m}-0{,}5\,\text{m}=2{,}7\,\text{m}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(A=\pi\cdot 1{,}36\,\text{m}\cdot 2{,}7\,\text{m}\approx 4{,}273\,\text{m}\cdot 2{,}7\,\text{m}\approx 11{,}54\,\text{m}^2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nebeneinander: \(4{,}273 : 1{,}19\approx 3{,}59\) → 3 Plakate. Übereinander: \(2{,}7 : 0{,}84\approx 3{,}21\) → 3 Plakate.
Hier muss abgerundet werden: Es passen höchstens \(3\cdot 3=9\) Plakate.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die gesamte Plakatfläche beträgt nur etwa 11,54 m² — das Versprechen „mehr als 12 m²“ ist falsch.
Mit ganzen Plakaten nutzbar: \(9\cdot 1{,}19\,\text{m}\cdot 0{,}84\,\text{m}\approx 9{,}00\,\text{m}^2\), also nur rund 78 % der Plakatfläche. Die Werbefirma übertreibt deutlich.
Die Blechdose mit Stülpdeckel
AFB II–IIIEine Firma stellt Teedosen aus Blech her. Modell A ist oben offen, hat den Radius 5 cm und die Höhe 14 cm. Darauf kommt ein Stülpdeckel: ein Kreis mit dem Radius 5,2 cm und ein 2 cm hoher Rand ringsum. Falze und Verschnitt werden vernachlässigt.
Das neue Modell B soll r = 7 cm und h = 10 cm haben; sein Stülpdeckel hat den Radius 7,2 cm und ebenfalls einen 2 cm hohen Rand.
- Leite eine Formel für den Blechbedarf \(A\) einer oben offenen Dose mit Radius \(r\) und Höhe \(h\) her und schreibe sie mit ausgeklammertem \(\pi r\).
- Ermittle den Blechbedarf für Modell A einschließlich Deckel.
- Vergleiche die Mantelflächen und den gesamten Blechbedarf der Modelle A und B (jeweils mit Deckel).
- Ein Mitarbeiter schlägt vor: „Wir halbieren den Radius und verdoppeln die Höhe — der Mantel bleibt gleich, und Boden und Deckel werden viel kleiner. So sparen wir immer Blech.“ Nimm Stellung zu diesem Vorschlag.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(A=G+M=\pi r^2+2\pi r h=\pi r\,(r+2h)\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Dose: \(\pi\cdot 5\cdot(5+28)\,\text{cm}^2=165\pi\,\text{cm}^2\approx 518{,}36\,\text{cm}^2\).
Deckel: \(\pi\cdot 5{,}2\cdot(5{,}2+4)\,\text{cm}^2\approx 150{,}29\,\text{cm}^2\).
Zusammen rund \(668{,}66\,\text{cm}^2\approx 669\,\text{cm}^2\) Blech.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mäntel: \(M_A=2\pi\cdot 5\cdot 14\,\text{cm}^2=140\pi\,\text{cm}^2\) und \(M_B=2\pi\cdot 7\cdot 10\,\text{cm}^2=140\pi\,\text{cm}^2\approx 439{,}82\,\text{cm}^2\) — gleich groß.
Modell B: Dose \(\approx 593{,}76\,\text{cm}^2\), Deckel \(\pi\cdot 7{,}2\cdot 11{,}2\,\text{cm}^2\approx 253{,}34\,\text{cm}^2\), zusammen \(\approx 847{,}10\,\text{cm}^2\).
Trotz gleichem Mantel braucht B etwa 178 cm² oder rund 27 % mehr Blech, weil Boden und Deckel mit \(r^2\) wachsen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Rechnerisch stimmt die Idee: Bei \(r\to\tfrac r2\), \(h\to 2h\) bleibt \(M=2\pi r h\) gleich, Boden und Deckelkreis schrumpfen auf ein Viertel (z. B. Modell A mit \(r=2{,}5\,\text{cm}\), \(h=28\,\text{cm}\): Dose \(\approx 459{,}46\,\text{cm}^2\) statt \(518{,}36\,\text{cm}^2\)).
„Immer“ ist aber zu stark: Beim Stülpdeckel wächst der Rand nicht mit, und eine 28 cm hohe, 5 cm schmale Dose kippt leicht, lässt sich schlecht befüllen und entleeren und passt nicht ins Regal.
Eine vollständige Stellungnahme wägt Materialersparnis gegen Gebrauchstauglichkeit ab und kommt zu einem begründeten Urteil, z. B.: nur maßvoll schlanker machen.