Netz und Schrägbild
Ein Zylinder besteht aus zwei gleich großen Kreisen und einer gekrümmten Fläche, die sich flach abrollen lässt.
- Grund- und Deckfläche:zwei deckungsgleiche, parallele Kreise mit Radius \(r\).
- Höhe \(h\):Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.
- Mantel:die gekrümmte Fläche; abgerollt ein Rechteck mit der Breite \(h\).
- Netz:Mantelrechteck mit je einem Kreis oben und unten.
- Schrägbild:die Kreise erscheinen als Ellipsen, verdeckte Kanten gestrichelt.
Stelle die Länge des Mantels so ein, dass er genau einmal um den Boden reicht. Setze Boden und Deckel an und schließe das Netz.
Halte fest: Das Netz schließt sich nur, wenn die Länge des Mantelrechtecks genau der Umfang des Bodens ist, also \(2\pi r\).
Oberfläche berechnen
Die Oberfläche ist der Flächeninhalt des ganzen Netzes.
- Mantelfläche:Rechteck mit Länge \(2\pi r\) und Breite \(h\): \(M=2\pi r\cdot h\).
- Grund- und Deckfläche:je \(G=\pi r^2\), zusammen \(2\pi r^2\).
- Oberfläche:\(O=2\cdot G+M\).
Herleitung:
Zylinder: \(M=2\pi r h\) und \(O=2\pi r^2+2\pi r h=2\pi r\,(r+h)\)
Allgemeine Hinweise
Durchmesser oder Radius?
Oft ist der Durchmesser \(d\) gegeben. Erst \(r=\dfrac d2\) bilden, dann einsetzen.
Offene Körper
Ein Rohr hat nur den Mantel, ein Becher Mantel und Boden — vorher klären, welche Flächen es wirklich gibt.
Gleiche Einheiten
\(r\) und \(h\) vor dem Einsetzen in dieselbe Einheit umrechnen; das Ergebnis hat dann die passende Flächeneinheit, z. B. cm².