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Zusammengesetzte Körper

Zehn Übungen zum Zerlegen, Ergänzen und zu der Frage, welche Fläche wirklich außen liegt.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei den Rechenaufgaben helfen dir gestufte Tipps.

A1
Addieren, abziehen oder beides?
AFB I

Wie bestimmt man das Volumen dieser Gegenstände? Sortiere nach dem Rechenweg.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1nur addieren
2nur abziehen
3addieren und abziehen
Zerlegen heißt addieren, Ergänzen heißt abziehen — und viele echte Gegenstände brauchen beides: erst Teilkörper zusammensetzen, dann Löcher abziehen.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen über zusammengesetzte Körper.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Volumen werden addiert oder abgezogen, bei der Oberfläche zählen nur die Flächen, die man von außen anfassen kann.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Beim addiert man die Volumen der Teilkörper, beim zieht man das Volumen des fehlenden Teils ab. Flächen, an denen zwei Teilkörper aneinanderstoßen, heißen ; sie gehören nicht zur . Bei einer Bohrung kommt der innere hinzu

„Volumen“ passt in keine Lücke: Berührflächen fallen nur bei der Oberfläche weg — beim Volumen zählt jeder Teilkörper vollständig.
A4
Der Holzkreisel
AFB II

Ein Holzkreisel besteht aus einem Kegel (r = 3 cm, h = 6 cm) und einem zylindrischen Griff (r = 0,5 cm, h = 4 cm), der oben auf der Grundfläche sitzt. Berechne das Volumen (zwei Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
V = ⅓ · π · 3² · 6 + π · 0,5² · 4 = 18π + π = 19π ≈ 59,69 cm³. Häufiger Fehler: das ⅓ beim Kegel vergessen — dann kommen 55π ≈ 172,79 cm³ heraus.
Ansatz: Zerlegen: V = VKegel + VZylinder.
Rechenweg: VKegel = ⅓ · π · 9 · 6 = 18π cm³, VZylinder = π · 0,25 · 4 = π cm³.
Lösung: V = 19π cm³ ≈ 59,69 cm³.
A5
Körper und Volumenansatz
AFB II

Verbinde jeden Körper mit dem passenden Ansatz für sein Volumen.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Zwei Halbkugeln ergeben eine ganze Kugel; eine Bohrung ist ein Zylinder, dessen Höhe die Würfelkante ist.
A6
Rechenkette: die Modellrakete
AFB II

Eine Modellrakete aus Balsaholz besteht aus einem Zylinder (r = 2 cm, h = 12 cm) mit aufgesetzter Kegelspitze (r = 2 cm, Höhe 4,8 cm). Sie wird rundum lackiert.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Mantellinie s des Kegels cm
  2. Zylindermantel cm²
  3. Kegelmantel cm²
  4. Lackierte Fläche insgesamt cm²
Außen liegen nur Boden, Zylindermantel und Kegelmantel: 4π + 48π + 10,4π = 62,4π ≈ 196,04 cm². Der Zylinderdeckel und die Grundfläche des Kegels liegen innen und fallen weg.
Ansatz: s mit dem Satz des Pythagoras: s² = r² + h². Dann die Außenflächen einzeln aufschreiben.
Rechenweg: s = √(4 + 23,04) = √27,04 = 5,2 cm. MZyl = 2π · 2 · 12, MKegel = π · 2 · 5,2, Boden = π · 2².
Lösung: s = 5,2 cm; 150,80 cm²; 32,67 cm²; O = 62,4π ≈ 196,04 cm².
A7
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Am häufigsten fehlt bei Bohrungen der innere Mantel — man zieht nur die zwei Kreise ab und vergisst die neue Innenwand.
A8
Trickaufgabe: die Kugel aus dem Würfel
AFB III

Aus einem Holzwürfel mit 6 cm Kantenlänge wird die größtmögliche Kugel gedrechselt. Wie viel Prozent des Holzes fallen als Späne ab? (eine Nachkommastelle)

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Kugel berührt alle sechs Würfelflächen, ihr Durchmesser ist die Kante: r = 3 cm, nicht 6 cm. VKugel = 36π ≈ 113,10 cm³, Späne = 216 − 36π ≈ 102,90 cm³, das sind ≈ 47,6 % — fast die Hälfte, unabhängig von der Würfelgröße.
Ansatz: Die Kugel ist so breit wie der Würfel. Welcher Radius gehört zu d = 6 cm?
Rechenweg: VWürfel = 216 cm³, VKugel = 4/3 · π · 3³ = 36π cm³. Späne = VWürfel − VKugel.
Lösung: (216 − 36π) : 216 ≈ 0,476 → 47,6 %.
A9
Was passiert mit dem Volumen?
AFB III

Eine Modellrakete aus Zylinder und Kegelspitze wird umgebaut. Schätze für jede Zeile ein, was mit dem Volumen passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halbiert sich, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt sich, 4 = vervierfacht sich, 5 = verachtfacht sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = halbiert sich5 = verachtfacht sich
Alle Längen werden verdoppelt.
Nur der Radius wird verdoppelt, die Höhen bleiben.
Nur die beiden Höhen werden verdoppelt.
Die Spitze wird abgenommen und unten an den Boden geklebt.
Die Rakete wird längs durch die Achse halbiert; man betrachtet eine Hälfte.
Beide Teilvolumen enthalten r² · h: Radius × 2 wirkt vierfach, Höhe × 2 doppelt, alles × 2 achtfach. Umsetzen ändert nichts — das Volumen hängt nicht von der Lage der Teile ab.
Idee: Schreibe V = πr²h + ⅓πr²hK. Wie oft kommt r, wie oft h in jedem Summanden vor?
Rechenweg: Ausklammern: V = πr² · (h + ⅓hK). Jetzt sieht man, wie r und die Höhen wirken.
A10
Die Hafenboje
AFB III

Eine Boje besteht aus einem Zylinder (d = 60 cm, Höhe 50 cm), oben einer Halbkugel und unten einer Kegelspitze. Die ganze Boje ist 1,10 m hoch.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Die Gesamthöhe ist keine Höhe eines Teilkörpers: Erst wenn Halbkugelhöhe und Kegelhöhe geklärt sind, kann man den Ansatz aufschreiben.