MINT lernen

Zusammengesetzte Körper

Zwei Sachaufgaben, in denen die entscheidende Fläche innen verschwindet.

1

Die Litfaßsäule

AFB I–II

Eine Litfaßsäule besteht aus einem Zylinder mit 1,2 m Durchmesser und 2,6 m Höhe. Obendrauf sitzt ein kegelförmiges Dach mit dem Radius 0,8 m und der Höhe 0,6 m; es steht also rundum über. Der Mantel des Zylinders wird mit Plakaten beklebt, das Dach wird von außen und an der überstehenden Unterseite gestrichen.

Litfaßsäule mit Kegeldach
h = 0,6 m r = 0,8 m 2,6 m d = 1,2 m
Das Dach ist breiter als die Säule — seine Unterseite ist ein Kreisring.
  1. Gib die Teilkörper der Litfaßsäule mit ihren Maßen an.
  2. Berechne die Fläche, die mit Plakaten beklebt werden kann.
  3. Ermittle die Fläche, die am Dach gestrichen wird.
  4. Erläutere, warum die Summe \(O_{\text{Zylinder}} + O_{\text{Kegel}}\) nicht die Außenfläche der Säule ist, und gib an, um wie viel sie zu groß ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Achte darauf, welche Länge ein Radius und welche ein Durchmesser ist.
Hinweis zu Aufgabe b)
Plakate kleben nur auf dem Mantel, nicht auf Boden und Deckel.
Hinweis zu Aufgabe c)
Kegelmantel \(\pi r s\) — \(s\) zuerst mit dem Satz des Pythagoras. Unten ist nur der Kreisring sichtbar, der über die Säule hinausragt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Welche Flächen liegen dort, wo Dach und Säule sich berühren? Wie viel von der Kegelgrundfläche liegt innen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Zylinder: \(r_Z = 0{,}6\text{ m}\), \(h_Z = 2{,}6\text{ m}\).
Kegel: \(r_K = 0{,}8\text{ m}\), \(h_K = 0{,}6\text{ m}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(M_Z = 2\pi\cdot 0{,}6\cdot 2{,}6\text{ m}^2 = 3{,}12\pi\text{ m}^2 \approx 9{,}80\text{ m}^2\).

Für Plakate stehen knapp 9,8 m² zur Verfügung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(s = \sqrt{0{,}8^2 + 0{,}6^2}\text{ m} = \sqrt{1}\text{ m} = 1\text{ m}\).
Kegelmantel: \(M_K = \pi\cdot 0{,}8\cdot 1\text{ m}^2 = 0{,}8\pi\text{ m}^2 \approx 2{,}51\text{ m}^2\).

Unterseite (Kreisring): \(\pi(0{,}8^2 - 0{,}6^2)\text{ m}^2 = 0{,}28\pi\text{ m}^2 \approx 0{,}88\text{ m}^2\).

Gestrichen werden \(1{,}08\pi\text{ m}^2 \approx 3{,}39\text{ m}^2\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(O_Z = 2\pi\cdot 0{,}6^2 + 3{,}12\pi = 3{,}84\pi\), \(O_K = \pi\cdot 0{,}8^2 + 0{,}8\pi = 1{,}44\pi\); Summe \(5{,}28\pi\text{ m}^2 \approx 16{,}59\text{ m}^2\).

Tatsächlich außen: Boden \(0{,}36\pi\) + Zylindermantel \(3{,}12\pi\) + Kegelmantel \(0{,}8\pi\) + Kreisring \(0{,}28\pi\) = \(4{,}56\pi\text{ m}^2 \approx 14{,}33\text{ m}^2\).

Zu viel gezählt sind der Zylinderdeckel (\(0{,}36\pi\)) und der gleich große innere Teil der Kegelgrundfläche (\(0{,}36\pi\)): zusammen \(0{,}72\pi\text{ m}^2 \approx 2{,}26\text{ m}^2\). Die Berührfläche liegt innen und zählt bei keinem Teilkörper.

2

Der Tankwagen

AFB II–III

Der Tank eines Tankwagens hat die Form eines Zylinders mit zwei Halbkugeln an den Enden. Er ist insgesamt 8,0 m lang und hat einen Durchmesser von 2,4 m. Aus Sicherheitsgründen darf er nur zu 95 % gefüllt werden, weil sich die Flüssigkeit bei Wärme ausdehnt. Die Außenseite erhält eine Schutzbeschichtung.

Tank in Seitenansicht
Zylinder Halbkugel Halbkugel Gesamtlänge 8,0 m 2,4 m
Die Länge des Zylinderteils ist nicht angegeben.
  1. Bestimme das Volumen des Tanks in Litern.
  2. Überprüfe, ob eine Lieferung von 30 000 l Heizöl in einer Fahrt transportiert werden darf.
  3. Zeige, dass die zu beschichtende Außenfläche \(19{,}2\pi\text{ m}^2\) beträgt.
  4. Nimm Stellung zu dem Vorschlag: „Ein Zylinder mit flachen Enden und gleichem Durchmesser wäre genauso gut — bei gleichem Volumen bräuchte er sogar weniger Blech.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die beiden Halbkugeln ragen je um den Radius über den Zylinder hinaus. Zusammen bilden sie eine Kugel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Nur 95 % des Volumens stehen zur Verfügung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Außen liegen der Zylindermantel und die gewölbten Flächen beider Halbkugeln — eine ganze Kugeloberfläche.
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechne die Länge eines flachen Zylinders mit demselben Volumen und vergleiche seine Oberfläche mit Teil c). Denke auch an den Innendruck.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(r = 1{,}2\text{ m}\), Zylinderlänge \(h = 8{,}0\text{ m} - 2\cdot 1{,}2\text{ m} = 5{,}6\text{ m}\).

\(V = \pi\cdot 1{,}2^2\cdot 5{,}6 + \tfrac43\pi\cdot 1{,}2^3 = 8{,}064\pi + 2{,}304\pi = 10{,}368\pi\text{ m}^3 \approx 32{,}57\text{ m}^3\).

Der Tank fasst etwa 32 572 l.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(0{,}95\cdot 32\,572\text{ l} \approx 30\,943\text{ l}\).

Da \(30\,000\text{ l} < 30\,943\text{ l}\), darf die Lieferung in einer Fahrt transportiert werden (rund 940 l Reserve).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(O = 2\pi r h + 4\pi r^2 = 2\pi\cdot 1{,}2\cdot 5{,}6 + 4\pi\cdot 1{,}2^2 = 13{,}44\pi + 5{,}76\pi = 19{,}2\pi\text{ m}^2 \approx 60{,}32\text{ m}^2\). ✓

Die Grundkreise des Zylinders liegen innen an den Halbkugeln und zählen nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Gleiches Volumen mit flachen Enden: \(L = \dfrac{10{,}368\pi}{\pi\cdot 1{,}44}\text{ m} = 7{,}2\text{ m}\) — tatsächlich 0,8 m kürzer.

Oberfläche: \(2\pi\cdot 1{,}44 + 2\pi\cdot 1{,}2\cdot 7{,}2 = 2{,}88\pi + 17{,}28\pi = 20{,}16\pi\text{ m}^2 \approx 63{,}33\text{ m}^2\), also rund 3 m² bzw. knapp 5 % mehr Blech als der Tank mit Halbkugeln.

Der Vorschlag ist daher nur teilweise richtig: kürzer ja, aber nicht materialsparender. Dazu halten gewölbte Enden Druck besser aus als flache Böden. Eine vollständige Stellungnahme nennt beide Rechenergebnisse und ein eigenes, begründetes Fazit.