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Zusammengesetzte Körper

Silo, Rohr oder Eistüte: Fast jeder echte Körper ist ein Baukasten aus Zylinder, Kegel und Kugel.

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Volumen: zerlegen oder ergänzen

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus Teilkörpern, deren Volumen du schon berechnen kannst.

  • Zerlegen:den Körper in Teilkörper zerschneiden und ihre Volumen addieren.
  • Ergänzen:zu einem einfachen Körper ergänzen und das Volumen des fehlenden Teils abziehen — etwa bei Bohrungen und Hohlräumen.
  • Maße zuordnen:jede Länge gehört zu genau einem Teilkörper; die Gesamthöhe ist meist keine Höhe eines Teilkörpers.

Wähle oben einen Körper. Lege jede Karte in „addieren“ oder „abziehen“ — Karten, die nicht zum Körper passen, bleiben liegen. Ziehe die Karten oder tippe erst eine Karte, dann die Spalte an; mit der Tastatur schicken ← und → die Karte nach links oder rechts, ↑ zurück.

Addieren oder abziehen?

Karten
    + addieren
      − abziehen

        Halte fest: Beim Zerlegen werden Teilvolumen addiert, beim Ergänzen wird das Volumen des fehlenden Teils abgezogen — und jede Maßangabe gehört zu genau einem Teilkörper.

        Merke

        Zerlegen: \(V=V_1+V_2+\dots\)  ·  Ergänzen: \(V=V_{\text{ganz}}-V_{\text{fehlt}}\)

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        Oberfläche: nur Außenflächen zählen

        Zur Oberfläche gehört nur, was man von außen anfassen kann.

        • Berührflächen:wo zwei Teilkörper aneinanderstoßen, liegt die Fläche innen und fällt weg — bei beiden Teilkörpern.
        • Teilflächen:Mantel, Boden, Deckel einzeln aufschreiben und nur die sichtbaren addieren.
        • Hohlkörper:bei Rohr und Bohrung kommt der innere Mantel dazu; Boden und Deckel werden zu Kreisringen \(\pi(r_a^2-r_i^2)\).

        Herleitung:

        \(O=O_{\text{Zylinder}}+O_{\text{Kegel}}-2\cdot\pi r^2\)
        | einsetzen
        Start: Zylinder (Höhe \(h\)) mit aufgesetztem Kegel (Mantellinie \(s\)). Der Berührkreis \(\pi r^2\) gehört zu beiden Oberflächen, liegt aber innen — er fällt zweimal weg.
        \(O=(2\pi r^2+2\pi rh)+(\pi r^2+\pi rs)-2\pi r^2\)
        | zusammenfassen
        Die Oberflächenformeln von Zylinder und Kegel einsetzen.
        \(O=\pi r^2+2\pi rh+\pi rs\)
        Ergebnis
        Übrig bleiben genau die Außenflächen: Boden, Zylindermantel und Kegelmantel.
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        Allgemeine Hinweise

        Gesamthöhe aufteilen

        Ist nur die Höhe des ganzen Körpers gegeben, zuerst die Höhen der Teilkörper bestimmen — etwa Gesamthöhe minus Radius der aufgesetzten Halbkugel.

        Wandstärke ist kein Radius

        Beim Rohr gilt \(r_i=r_a-\text{Wandstärke}\). Die Wandstärke selbst ist kein Radius, und ein Durchmesser muss erst halbiert werden.

        Erst skizzieren, dann rechnen

        Teilkörper farbig markieren und beschriften, dann den Ansatz in eine Zeile schreiben: \(V=\dots+\dots-\dots\). Erst danach Zahlen einsetzen.

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