Kreis- und Körperberechnungen: Zusammenfassung – Mathe Klasse 10

Kreis und Kreiszahl π

Bei jedem Kreis ist der Umfang gut dreimal so lang wie der Durchmesser — diese feste Zahl heißt π. Aus ihr folgen alle Kreisformeln.

Umfang

Der Umfang ist gut dreimal so lang wie der Durchmesser. Stolperstein: \(r\) und \(d\) verwechseln.

\(U = 2\pi r = \pi d\)

Kreiszahl π

Archimedes: Kreis zwischen Innen- und Außenvieleck einschachteln; mehr Ecken, engeres Intervall.

\(3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac17\)

Flächeninhalt

Doppelter Radius heißt vierfache Fläche. Umgekehrt: r = √(A : π).

\(A = \pi r^2\)

Kreisausschnitt

Der Anteil \(\tfrac{\alpha}{360^\circ}\) gilt für Bogen und Fläche. Kreisring: \(A = \pi(r_a^2 - r_i^2)\).

\(b = \tfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r\)

Kreis

\(U = 2\pi r \qquad A = \pi r^2\)

π ≈ 3,14159 ist irrational. Umgestellt: \(r = \dfrac{U}{2\pi}\) und \(r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}\). Für Kreisteile mit dem Anteil \(\tfrac{\alpha}{360^\circ}\) multiplizieren.

Warum A = πr² gilt

Zerschneidet man den Kreis in viele schmale Sektoren und legt sie abwechselnd aneinander, entsteht fast ein Rechteck: Länge halber Umfang \(\pi r\), Höhe \(r\). Seine Fläche ist \(\pi r\cdot r = \pi r^2\).

Zylinder, Pyramide und Kegel

Zylinder rechnet man wie Prismen, Pyramide und Kegel sind „Spitzkörper“ — sie haben nur ein Drittel des Volumens.

Zylinder: Oberfläche

Mantel abgewickelt: Rechteck mit Länge \(2\pi r\) und Breite \(h\), dazu zwei Kreise.

\(O = 2\pi r^2 + 2\pi r h\)

Zylinder: Volumen

Wie beim Prisma: Grundfläche mal Höhe. 1 cm³ = 1 ml, 1 dm³ = 1 l.

\(V = \pi r^2 h\)

Pyramide

Seitenhöhe mit Pythagoras: hₛ = √(h² + (a/2)²). Quadratisch: \(O = a^2 + 2a h_s\).

\(V = \tfrac13 G h\)

Kegel

Mantellinie s = √(r² + h²); Mantel \(M = \pi r s\), Oberfläche \(O = \pi r^2 + \pi r s\).

\(V = \tfrac13\pi r^2 h\)

Säule und Spitzkörper

\(V_{\text{Säule}} = G\cdot h \qquad V_{\text{Spitze}} = \tfrac13\, G\cdot h\)

Zylinder und Prisma sind Säulen, Pyramide und Kegel Spitzkörper. Umgestellt beim Zylinder: \(h = \dfrac{V}{\pi r^2}\), \(r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}\).

Höhe oder Seitenhöhe?

In jede Volumenformel gehört die Körperhöhe \(h\), senkrecht von der Spitze zur Grundfläche. Die Seitenhöhe \(h_s\) bzw. die Mantellinie \(s\) braucht man nur für Mantel und Oberfläche — beide bekommt man mit dem Satz des Pythagoras.

Kugel und zusammengesetzte Körper

Die Kugel hat eigene Formeln mit \(r^2\) und \(r^3\); zusammengesetzte Körper löst man mit den bekannten Bausteinen.

Kugel: Volumen

Cavalieri: Halbkugel = Zylinder minus Kegel. Radius aus dem Volumen: r = ∛(3V : (4π)).

\(V = \tfrac43\pi r^3\)

Kugel: Oberfläche

Die Schale einer Orange bedeckt genau vier Kreise mit dem Kugelradius. \(r\) doppelt: \(O\) ×4, \(V\) ×8.

\(O = 4\pi r^2\)

Zerlegen

Körper in bekannte Teilkörper zerlegen und die Volumina addieren.

\(V = V_1 + V_2\)

Ergänzen

Zu einem einfachen Körper ergänzen und das Fehlende abziehen, etwa beim Rohr.

\(V = V_{\text{ganz}} - V_{\text{Loch}}\)

Kugel

\(V = \tfrac43\pi r^3 \qquad O = 4\pi r^2\)

Zusammenhang über viele dünne Pyramiden mit der Spitze im Mittelpunkt: \(V = \tfrac13\cdot O\cdot r\). Umgestellt: \(r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}\).

Volumen addieren, Oberfläche nicht

Volumina von Teilkörpern darf man einfach addieren oder abziehen. Bei der Oberfläche zählen nur die Flächen, die außen liegen — Berührflächen zwischen zwei Teilkörpern fallen weg.

Die Regeln, an denen die Punkte hängen

Diese drei Stellen kosten in der Arbeit am häufigsten Punkte.

Radius, nicht Durchmesser

Alle Formeln sind mit \(r\) geschrieben. Ist \(d\) gegeben, zuerst halbieren — sonst wird die Fläche viermal, das Kugelvolumen sogar achtmal zu groß.

Skizze und Pythagoras zuerst

Bei Pyramide und Kegel erst das rechtwinklige Dreieck aus \(h\), \(\tfrac a2\) bzw. \(r\) und \(h_s\) bzw. \(s\) einzeichnen. Dann ist klar, welche Länge in welche Formel gehört.

Einheiten und Rundung

Alle Längen in dieselbe Einheit bringen, mit der π-Taste rechnen und erst das Endergebnis runden — mit ≈ und Einheit: cm, cm² oder cm³ (1 cm³ = 1 ml).