Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Formeln herleiten, Behauptungen prüfen, Fehler finden und eigene Begründungen formulieren — erst selbst aufschreiben, dann die Musterlösung aufklappen.
Beurteile die Aussage: „Verdoppelt man den Radius eines Kreises, dann verdoppeln sich Umfang und Flächeninhalt.“
Hinweis: Setze einmal \(r\) und einmal \(2r\) in beide Formeln ein.
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Musterlösung: Umfang: \(U = 2\pi\cdot 2r = 2\cdot(2\pi r)\) — er verdoppelt sich tatsächlich. Fläche: \(A = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2\) — sie wird viermal so groß. Die Aussage ist also falsch, weil der Radius in der Flächenformel quadriert wird. Allgemein: Streckt man einen Kreis mit dem Faktor \(k\), wächst der Umfang mit \(k\), die Fläche mit \(k^2\).
Erkläre, warum das Verhältnis \(U : d\) bei jedem Kreis dieselbe Zahl \(\pi\) ergibt — beim Euro-Stück genauso wie beim Riesenrad.
Hinweis: Denke an Vergrößern und Verkleinern: Wie hängen zwei Kreise zusammen?
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Musterlösung: Zwei Kreise unterscheiden sich nur in der Größe: Streckt man einen Kreis mit dem Faktor \(k\), werden Durchmesser und Umfang beide \(k\)-mal so lang. Im Quotienten kürzt sich \(k\) weg: \(\dfrac{k\cdot U}{k\cdot d} = \dfrac Ud\). Deshalb hat \(U : d\) für alle Kreise denselben Wert — diesen Wert nennt man \(\pi \approx 3{,}14\).
Archimedes schloss den Kreis mit \(d = 1\) zwischen ein einbeschriebenes und ein umbeschriebenes 96-Eck ein. Begründe, warum man \(\pi\) so beliebig genau, aber nie exakt als Bruch oder abbrechende Dezimalzahl erhält.
Hinweis: Was passiert mit den beiden Vieleck-Umfängen, wenn man die Eckenzahl verdoppelt?
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Musterlösung: Der Kreisumfang \(\pi\) liegt immer zwischen dem Umfang des Innen- und des Außenvielecks: \(u_n < \pi < U_n\). Verdoppelt man die Eckenzahl (6, 12, 24, 48, 96, …), schmiegen sich beide Vielecke enger an den Kreis, das Intervall wird immer kleiner — so erhält man beliebig viele sichere Stellen, bei Archimedes \(3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac17\). Exakt wird es nie, denn jedes Vieleck hat Ecken und ist kein Kreis. Außerdem ist \(\pi\) irrational: keine abbrechende oder periodische Dezimalzahl, kein Bruch — auch \(\tfrac{22}{7}\) ist nur ein Näherungswert.
Der abgewickelte Mantel eines Kegels ist ein Kreisausschnitt mit dem Radius \(s\). Beweise damit die Formel \(M = \pi r s\).
Hinweis: Nutze die Ausschnittsformel \(A = \tfrac12\cdot b\cdot r\) — hier mit dem Radius \(s\).
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Musterlösung: Der Mantel wird zu einem Kreisausschnitt mit Radius \(s\) abgewickelt. Sein Bogen umschließt nach dem Aufrollen genau den Grundkreis, also ist \(b = 2\pi r\). Für jeden Kreisausschnitt gilt \(A = \tfrac12\cdot b\cdot(\text{Radius})\). Damit: \(M = \tfrac12\cdot 2\pi r\cdot s = \pi r s\). Nebenbei folgt der Mittelpunktswinkel: \(\dfrac{\alpha}{360^\circ} = \dfrac{2\pi r}{2\pi s}\), also \(\alpha = 360^\circ\cdot\dfrac rs\).
Eine Eisdiele wirbt: „Unsere Tüte ist genauso hoch und genauso breit wie der Becher der Konkurrenz — also bekommst du bei uns genauso viel Eis.“ Die Tüte ist ein Kegel, der Becher ein Zylinder. Nimm Stellung.
Hinweis: Vergleiche die Volumenformeln bei gleichem \(r\) und \(h\).
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Musterlösung: Bei gleichem Radius und gleicher Höhe gilt \(V_{\text{Kegel}} = \tfrac13\pi r^2 h = \tfrac13\cdot V_{\text{Zylinder}}\). Die Tüte fasst also nur ein Drittel dessen, was in den Becher passt. Die Werbung ist falsch: Gleiche Höhe und gleiche Breite bedeuten nicht gleiches Volumen. (Eine Eiskugel oben auf der Tüte zählt die Werbung natürlich nicht mit.)
Eine Halbkugel und ein Zylinder mit ausgebohrtem Kegel haben denselben Radius \(r\) und dieselbe Höhe \(h = r\). Erläutere mit dem Prinzip von Cavalieri, warum beide dasselbe Volumen haben, und folgere die Formel für das Kugelvolumen.
Hinweis: Schneide beide Körper in derselben Höhe \(x\) waagrecht durch und vergleiche die Schnittflächen.
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Musterlösung: In der Höhe \(x\) über der Grundfläche schneidet man die Halbkugel in einem Kreis mit Radius \(\sqrt{r^2 - x^2}\) (Pythagoras), Fläche \(\pi(r^2 - x^2)\). Beim Zylinder mit ausgebohrtem Kegel (Spitze unten) entsteht ein Kreisring mit Außenradius \(r\) und Innenradius \(x\), Fläche \(\pi r^2 - \pi x^2\). Die Schnittflächen sind in jeder Höhe gleich groß, also sind nach Cavalieri auch die Volumina gleich: \(V_{\text{Halbkugel}} = \pi r^2\cdot r - \tfrac13\pi r^2\cdot r = \tfrac23\pi r^3\). Die ganze Kugel hat daher \(V = \tfrac43\pi r^3\).
Eine Kugel passt genau in einen Zylinder: Radius \(r\), Höhe \(2r\). Zeige, dass die Kugel zwei Drittel des Zylindervolumens einnimmt und dass ihre Oberfläche genauso groß ist wie der Zylindermantel.
Hinweis: Setze \(h = 2r\) in die Zylinderformeln ein.
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Musterlösung: Zylinder: \(V_Z = \pi r^2\cdot 2r = 2\pi r^3\). Kugel: \(V_K = \tfrac43\pi r^3\). Verhältnis: \(\dfrac{\tfrac43\pi r^3}{2\pi r^3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac23\). Mantel: \(M_Z = 2\pi r\cdot 2r = 4\pi r^2\), und das ist genau die Kugeloberfläche \(O_K = 4\pi r^2\). Archimedes war auf diese Entdeckung so stolz, dass er sich Kugel und Zylinder auf seinen Grabstein wünschte.
Tim sagt: „Die Oberfläche eines zusammengesetzten Körpers ist immer die Summe der Oberflächen seiner Teilkörper.“ Widerlege die Aussage mit einem Gegenbeispiel.
Hinweis: Stelle einen Kegel auf einen Zylinder mit gleichem Radius. Welche Flächen sind danach noch außen?
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Musterlösung: Gegenbeispiel: Zylinder mit \(r = 3\) cm, \(h = 5\) cm und aufgesetzter Kegel mit \(s = 5\) cm. Tim: \(O = (2\pi\cdot 9 + 2\pi\cdot 3\cdot 5) + (\pi\cdot 9 + \pi\cdot 3\cdot 5) = 48\pi + 24\pi = 72\pi\) cm². Richtig: Boden \(9\pi\) + Zylindermantel \(30\pi\) + Kegelmantel \(15\pi\) = \(54\pi\) cm². Die Differenz \(18\pi\) sind die beiden Kreise, an denen sich die Körper berühren — sie liegen im Inneren. Tims Aussage ist also falsch; richtig ist sie nur für das Volumen.
Eine quadratische Pyramide hat \(a = 8\) cm und \(h = 3\) cm. Mia rechnet: „\(h_s = \sqrt{3^2 + 8^2} \approx 8{,}54\) cm und \(V = \tfrac13\cdot 8^2\cdot 8{,}54 \approx 182{,}2\) cm³.“ Bewerte Mias Lösung und korrigiere sie.
Hinweis: Prüfe jeden Schritt: Welche Strecken bilden das rechtwinklige Dreieck? Welche Höhe gehört in die Volumenformel?
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Musterlösung: Mia macht zwei Fehler. (1) Im Dreieck aus Höhe, Seitenhöhe und Grundfläche ist die zweite Kathete die halbe Kante: \(h_s = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) cm. (2) Für das Volumen braucht man die Körperhöhe \(h\), nicht die Seitenhöhe: \(V = \tfrac13\cdot 64\cdot 3 = 64\) cm³. Die Seitenhöhe braucht man nur für die Oberfläche: \(O = 64 + 2\cdot 8\cdot 5 = 144\) cm². Mias Lösung ist also in beiden Teilen falsch, ihr Vorgehen (erst Pythagoras, dann Formel) ist aber richtig angelegt.
Ein Seil liegt straff um den Äquator (Erdradius rund 6370 km). Man verlängert es um nur 1 m und hebt es überall gleich hoch an. Passt eine Katze (20 cm) darunter hindurch — und wäre es bei einem Fußball anders? Schätze zuerst, dann Entscheide mit einer Rechnung.
Hinweis: Rechne allgemein: Um wie viel wächst der Radius, wenn der Umfang um 1 m wächst?
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Musterlösung: \(\Delta r = \dfrac{U + 1\text{ m}}{2\pi} - \dfrac{U}{2\pi} = \dfrac{1\text{ m}}{2\pi} \approx 0{,}159\) m, also rund 16 cm. Die Katze (20 cm) passt nicht ganz hindurch, sie müsste sich ducken. Überraschend: Das Ergebnis hängt nicht vom Radius ab — beim Fußball hebt sich das um 1 m verlängerte Seil ebenfalls um knapp 16 cm. Die meisten schätzen bei der Erde „ein paar Millimeter“, weil sie die riesige Zahl 6370 km im Kopf haben.