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Übung — AFB II (Zusammenhänge herstellen)

Zehn Sachaufgaben vom Fahrradreifen bis zum Silo — erst den passenden Körper erkennen, dann rechnen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel, bunt gemischt: erst den passenden Körper erkennen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Fahrradreifen
AFB II

Ein Fahrradreifen hat einen Durchmesser von 70 cm.

a) Berechne den Umfang des Reifens in Metern. b) Wie viele volle Umdrehungen macht das Rad auf einer Strecke von 1 km? Runde auf ganze Umdrehungen.

m
Umdrehungen
Ansatz: Eine Umdrehung legt genau den Umfang zurück: \(U = \pi d\). Für b) teilst du 1000 m durch \(U\).
Rechenweg: \(U = \pi\cdot 0{,}7\) m \(\approx 2{,}1991\) m; \(1000 : 2{,}1991 \approx 454{,}7\).
Lösung: a) ≈ 2,20 m b) ≈ 455 Umdrehungen
Vollständige Lösung
a) \(U = \pi\cdot 0{,}7\) m \(\approx 2{,}20\) m. b) \(n = \dfrac{1000\text{ m}}{0{,}7\pi\text{ m}} \approx 454{,}7\), also rund 455 Umdrehungen. Hinweis: Erst beide Längen in dieselbe Einheit bringen — 70 cm = 0,7 m.
A2
Eine große oder zwei kleine Pizzen?
AFB II

Eine Pizzeria bietet zum gleichen Preis eine große Pizza mit 32 cm Durchmesser oder zwei kleine Pizzen mit je 22 cm Durchmesser an.

a) Berechne die Fläche der großen Pizza. b) Berechne die Fläche der beiden kleinen Pizzen zusammen und vergleiche die Angebote.

cm²
cm²
Ansatz: Mit Radien rechnen: \(r = 16\) cm bzw. \(r = 11\) cm; \(A = \pi r^2\), bei b) mal 2.
Rechenweg: \(\pi\cdot 16^2 = 256\pi\); \(2\cdot\pi\cdot 11^2 = 242\pi\).
Lösung: a) ≈ 804,25 cm² b) ≈ 760,27 cm²
Vollständige Lösung
a) \(A = \pi\cdot 16^2 = 256\pi \approx 804,25\) cm². b) \(A = 2\cdot\pi\cdot 11^2 = 242\pi \approx 760,27\) cm². Die große Pizza ist um \(14\pi \approx 43,98\) cm² größer — obwohl \(2\cdot 22\) cm mehr „Durchmesser“ ergibt als 32 cm. Hinweis: Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Radius.
A3
Kiesweg um einen Teich
AFB II

Um einen kreisrunden Teich mit dem Radius 3 m wird ein 1 m breiter Kiesweg angelegt. Der Kies wird 5 cm hoch aufgeschüttet.

a) Bestimme die Fläche des Weges. b) Wie viele Kubikmeter Kies werden gebraucht?

m²
m³
Ansatz: Der Weg ist ein Kreisring mit \(r_i = 3\) m und \(r_a = 4\) m: \(A = \pi(r_a^2 - r_i^2)\). Für b): Fläche mal Höhe 0,05 m.
Rechenweg: \(\pi(16 - 9) = 7\pi \approx 21{,}99\); \(21{,}99\cdot 0{,}05 \approx 1{,}100\).
Lösung: a) ≈ 21,99 m² b) ≈ 1,10 m³
Vollständige Lösung
a) \(A = \pi(4^2 - 3^2) = 7\pi \approx 21,99\) m². b) Die Kiesschicht ist ein flacher Körper mit Grundfläche \(A\) und Höhe 5 cm = 0,05 m: \(V = 7\pi\cdot 0{,}05 \approx 1,10\) m³. Hinweis: \(r_a = 3 + 1 = 4\) m — nicht die Wegbreite quadrieren.
rₐ = 4 mrᵢ = 3 m
Der Weg ist ein Kreisring
A4
Der Minutenzeiger
AFB II

Der Minutenzeiger einer Bahnhofsuhr ist 12 cm lang. Er läuft 20 Minuten lang weiter.

a) Welchen Weg legt die Zeigerspitze zurück? b) Welche Fläche überstreicht der Zeiger dabei? Gib beide Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen an.

cm
cm²
Ansatz: In 60 Minuten dreht sich der Zeiger um 360°, in 20 Minuten also um \(\alpha = 120^\circ\) — ein Drittel des Kreises.
Rechenweg: \(b = \tfrac13\cdot 2\pi\cdot 12 = 8\pi\); \(A = \tfrac13\cdot\pi\cdot 12^2 = 48\pi\).
Lösung: a) ≈ 25,13 cm b) ≈ 150,80 cm²
Vollständige Lösung
\(\alpha = \dfrac{20}{60}\cdot 360^\circ = 120^\circ\). a) \(b = \dfrac{120^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 12 = 8\pi \approx 25,13\) cm. b) \(A = \dfrac{120^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot 12^2 = 48\pi \approx 150,80\) cm². Kontrolle: \(A = \tfrac12\cdot b\cdot r = \tfrac12\cdot 8\pi\cdot 12 = 48\pi\).
A5
Etikett einer Konservendose
AFB II

Eine zylinderförmige Konservendose ist 11 cm hoch und hat einen Durchmesser von 7,4 cm. Das Papieretikett bedeckt genau den Mantel.

Stelle jeweils einen Term auf und berechne: a) die Fläche des Etiketts, b) den Blechbedarf für die geschlossene Dose (ohne Falze).

cm²
cm²
Ansatz: Mantel: \(M = \pi d\cdot h\) (Umfang mal Höhe). Blech: Mantel plus zwei Kreise mit \(r = 3{,}7\) cm.
Rechenweg: \(M = \pi\cdot 7{,}4\cdot 11 \approx 255{,}73\); \(2\pi\cdot 3{,}7^2 \approx 86{,}02\).
Lösung: a) ≈ 255,73 cm² b) ≈ 341,74 cm²
Vollständige Lösung
a) Das Etikett ist abgewickelt ein Rechteck: Länge \(U = \pi\cdot 7{,}4\) cm, Breite 11 cm. \(M = \pi\cdot 7{,}4\cdot 11 \approx 255,73\) cm². b) \(O = M + 2\pi r^2 = \pi\cdot 7{,}4\cdot 11 + 2\pi\cdot 3{,}7^2 \approx 341,74\) cm². Hinweis: In \(\pi r^2\) gehört der Radius 3,7 cm, nicht der Durchmesser.
d = 7,4 cmh = 11 cm
Die Dose als Zylinder
A6
Regentonne
AFB II

Eine zylinderförmige Regentonne hat innen einen Durchmesser von 60 cm und ist 90 cm hoch.

a) Wie viele Liter fasst sie? b) Nach einem Schauer sind 150 Liter Wasser in der Tonne. Löse die Volumenformel nach \(h\) auf und berechne, wie hoch das Wasser steht.

l
cm
Ansatz: In cm rechnen: \(r = 30\) cm. \(V = \pi r^2 h\) ergibt cm³; 1000 cm³ = 1 l. Für b): \(h = \dfrac{V}{\pi r^2}\) mit \(V = 150\,000\) cm³.
Rechenweg: \(\pi\cdot 900\cdot 90 \approx 254469\) cm³; \(150\,000 : (900\pi) \approx 53{,}05\).
Lösung: a) ≈ 254,47 l b) ≈ 53,05 cm
Vollständige Lösung
a) \(V = \pi\cdot 30^2\cdot 90 = 81\,000\pi \approx 254469\) cm³ \(\approx 254,47\) l. b) \(h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{150\,000}{\pi\cdot 900} \approx 53,05\) cm. Hinweis: Liter erst in cm³ umrechnen, sonst passen die Einheiten nicht zusammen.
A7
Glaspyramide
AFB II

Eine Glaspyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Kantenlänge 34 m und ist 21 m hoch. Die vier Seitenflächen sind verglast.

a) Leite mit dem Satz des Pythagoras die Seitenhöhe \(h_s\) her. b) Berechne die gesamte Glasfläche.

m
m²
Ansatz: Rechtwinkliges Dreieck im Inneren: Katheten \(h = 21\) m und \(\tfrac a2 = 17\) m, Hypotenuse \(h_s\). Glasfläche: vier Dreiecke \(\tfrac12\cdot a\cdot h_s\).
Rechenweg: \(h_s = \sqrt{21^2 + 17^2} = \sqrt{730} \approx 27{,}0185\); \(M = 4\cdot\tfrac12\cdot 34\cdot h_s\).
Lösung: a) ≈ 27,02 m b) ≈ 1837,26 m²
Vollständige Lösung
a) \(h_s = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac a2\right)^2} = \sqrt{441 + 289} = \sqrt{730} \approx 27,02\) m. b) \(M = 4\cdot\tfrac12\cdot a\cdot h_s = 2\cdot 34\cdot\sqrt{730} \approx 1837,26\) m². Hinweis: Die Grundfläche ist nicht verglast — nur der Mantel zählt.
h = 21 mhₛa = 34 m
Höhe h, halbe Kante und Seitenhöhe hₛ
A8
Eistüte
AFB II

Eine kegelförmige Waffeltüte ist innen 12 cm tief, ihre Öffnung hat den Radius 3 cm. Ein Eisverkäufer will 120 ml Eis hineinfüllen — bündig mit dem Rand.

a) Untersuche, ob das gelingt: Berechne das Volumen der Tüte. b) Wie viel Waffelteig (Fläche des Mantels) braucht man für die Tüte?

cm³
cm²
Ansatz: \(V = \tfrac13\pi r^2 h\); 1 cm³ = 1 ml. Für den Mantel brauchst du erst \(s = \sqrt{r^2 + h^2}\), dann \(M = \pi r s\).
Rechenweg: \(V = \tfrac13\pi\cdot 9\cdot 12 = 36\pi\); \(s = \sqrt{153} \approx 12{,}3693\); \(M = \pi\cdot 3\cdot s\).
Lösung: a) ≈ 113,10 cm³ b) ≈ 116,58 cm²
Vollständige Lösung
a) \(V = \tfrac13\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 12 = 36\pi \approx 113,10\) cm³ = 113,10 ml. 120 ml passen also nicht bündig hinein. b) \(s = \sqrt{3^2 + 12^2} = \sqrt{153} \approx 12,37\) cm, \(M = \pi\cdot 3\cdot\sqrt{153} \approx 116,58\) cm². Hinweis: In \(M = \pi r s\) steht die Mantellinie \(s\), nicht die Höhe.
h = 12 cmr = 3 cm
Tüte als Kegel mit Höhe h
A9
Kugel zum Kugelstoßen
AFB II

Eine Wettkampfkugel für das Kugelstoßen muss mindestens 4 kg wiegen. Eine massive Eisenkugel hat den Durchmesser 10 cm; 1 cm³ Eisen wiegt 7,9 g.

a) Berechne das Volumen der Kugel. b) Überprüfe, ob die Kugel schwer genug ist: Gib ihre Masse in kg an.

cm³
kg
Ansatz: Radius 5 cm in \(V = \tfrac43\pi r^3\) einsetzen. Masse = Volumen · 7,9 g, dann in kg umrechnen.
Rechenweg: \(V = \tfrac43\pi\cdot 125 \approx 523{,}60\); \(523{,}60\cdot 7{,}9 \approx 4136\) g.
Lösung: a) ≈ 523,60 cm³ b) ≈ 4,14 kg
Vollständige Lösung
a) \(V = \tfrac43\cdot\pi\cdot 5^3 = \tfrac{500}{3}\pi \approx 523,60\) cm³. b) \(m \approx 523,60\cdot 7{,}9\) g \(\approx 4136\) g \(\approx 4,14\) kg. Die Kugel erreicht die 4 kg knapp. Hinweis: Mit dem Durchmesser statt dem Radius wäre das Volumen achtmal zu groß.
A10
Getreidesilo
AFB II

Ein Silo besteht aus einem Zylinder (Radius 2 m, Höhe 6 m) mit einem aufgesetzten Kegeldach (Höhe 1,5 m). Es steht auf einer Betonplatte.

a) Berechne das Fassungsvermögen. b) Außen soll das Silo gestrichen werden, der Boden nicht. Ermittle die zu streichende Fläche.

m³
m²
Ansatz: Zerlegen: \(V = V_{\text{Zyl}} + V_{\text{Kegel}}\). Gestrichen werden nur der Zylindermantel und der Kegelmantel — die Kreisfläche dazwischen ist innen.
Rechenweg: \(V = \pi\cdot 4\cdot 6 + \tfrac13\pi\cdot 4\cdot 1{,}5 = 26\pi\). \(s = \sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = 2{,}5\); \(A = 2\pi\cdot 2\cdot 6 + \pi\cdot 2\cdot 2{,}5 = 29\pi\).
Lösung: a) ≈ 81,68 m³ b) ≈ 91,11 m²
Vollständige Lösung
a) \(V = \pi\cdot 2^2\cdot 6 + \tfrac13\cdot\pi\cdot 2^2\cdot 1{,}5 = 24\pi + 2\pi = 26\pi \approx 81,68\) m³. b) \(s = \sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = 2{,}5\) m; \(A = 2\pi\cdot 2\cdot 6 + \pi\cdot 2\cdot 2{,}5 = 24\pi + 5\pi = 29\pi \approx 91,11\) m². Hinweis: Die Berührfläche zwischen Zylinder und Kegel ist keine Außenfläche.
6 m1,5 mr = 2 m
Zylinder mit aufgesetztem Kegel