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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben vom Kreisumfang bis zur Kugel — wer sie sicher löst, hat die ersten Punkte der Arbeit schon.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Formel kennen, Werte einsetzen, ausrechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Arbeit — vom Kreisumfang über Zylinder, Pyramide und Kegel bis zur Kugel. Rechne mit der π-Taste und runde erst das Endergebnis.

A1
Umfang eines Kreises
AFB I

Ein Kreis hat den Radius \(r = 4{,}5\) cm. Berechne seinen Umfang \(U\). Runde auf zwei Nachkommastellen.

cm
Kreisumfang: \(U = 2\pi r\). Setze ein: \(U = 2\pi\cdot 4{,}50\).
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\(U = 2\pi\cdot 4{,}5 = 9\pi\) ≈ 28,27 cm
r = 4,5 cm
Kreis mit Radius r
A2
Flächeninhalt eines Kreises
AFB I

Lies den Durchmesser aus der Skizze ab und berechne damit den Flächeninhalt \(A\) des Kreises. Runde auf zwei Nachkommastellen.

cm²
Kreisfläche: \(A = \pi r^2\) mit \(r = d : 2\). Setze ein: \(A = \pi\cdot 6^2\).
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\(d = 12\) cm, also \(r = 6\) cm. \(A = \pi\cdot 6^2 = 36\pi\) ≈ 113,10 cm²
d = 12 cm
Der Durchmesser ist eingezeichnet
A3
Radius aus dem Umfang
AFB I

Ein kreisrundes Beet hat den Umfang \(U = 50\) m. Löse die Gleichung \(2\pi r = 50\) nach \(r\) auf und gib den Radius auf zwei Nachkommastellen an.

m
Umstellen: Aus \(U = 2\pi r\) folgt \(r = \dfrac{U}{2\pi}\). Setze ein: \(r = \dfrac{50}{2\pi}\).
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\(r = \dfrac{50}{2\pi}\) ≈ 7,96 m
A4
Länge eines Kreisbogens
AFB I

Ein Kreisausschnitt hat den Radius \(r = 6\) cm und den Mittelpunktswinkel \(\alpha = 120^\circ\). Gib die Länge \(b\) des Kreisbogens auf zwei Nachkommastellen an.

cm
Kreisbogen: \(b = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r\). Hier ist \(\dfrac{120^\circ}{360^\circ} = \dfrac13\).
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\(b = \dfrac13\cdot 2\pi\cdot 6 = 4\pi\) ≈ 12,57 cm
α = 120°r = 6 cm
Der Bogen ist orange markiert
A5
π mit dem Zwölfeck annähern
AFB I

Nach Archimedes hat das einbeschriebene regelmäßige \(n\)-Eck in einem Kreis mit \(d = 1\) den Umfang \(u_n = n\cdot\sin\!\left(\tfrac{180^\circ}{n}\right)\). Werte die Formel für \(n = 12\) aus und runde auf vier Nachkommastellen.

Formel: \(u_{12} = 12\cdot\sin(15^\circ)\). Der Taschenrechner muss auf Grad (DEG) stehen.
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Schon nah an \(\pi \approx 3{,}1416\), aber noch darunter: \(u_{12} = 12\cdot\sin 15^\circ\) ≈ 3,1058
Innen- und Außenvieleck (hier Sechsecke)
A6
Volumen eines Zylinders
AFB I

Ein Zylinder hat den Radius \(r = 3\) cm und die Höhe \(h = 10\) cm. Stelle sein Volumen exakt als Vielfaches von \(\pi\) auf: \(V = k\cdot\pi\) cm³. Gib \(k\) ein.

Zylindervolumen: \(V = \pi r^2 h\). Setze ein: \(V = \pi\cdot 3^2\cdot 10\).
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\(V = \pi\cdot 9\cdot 10 = 90\pi\) cm³ \(\approx 282{,}74\) cm³, also k = 90
r = 3 cmh = 10 cm
Zylinder mit Radius und Höhe
A7
Oberfläche eines Zylinders
AFB I

Lena behauptet: „Ein geschlossener Zylinder mit \(r = 4\) cm und \(h = 5\) cm hat eine Oberfläche von ungefähr 226 cm².“ Überprüfe die Behauptung. Gib dazu die Oberfläche auf zwei Nachkommastellen ein.

cm²
Zylinderoberfläche: \(O = 2\pi r^2 + 2\pi r h\) — zwei Kreise plus Mantel. Setze ein: \(2\pi\cdot 16 + 2\pi\cdot 4\cdot 5\).
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Lena hat recht: \(O = 2\pi\cdot 4^2 + 2\pi\cdot 4\cdot 5 = 32\pi + 40\pi = 72\pi\) ≈ 226,19 cm²
A8
Volumen einer Pyramide
AFB I

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante \(a = 6\) cm und die Höhe \(h = 10\) cm. Bestätige durch Rechnung, dass ihr Volumen genau ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe ist. Gib das Volumen der Pyramide ein.

cm³
Pyramidenvolumen: \(V = \tfrac13\cdot G\cdot h\) mit \(G = a^2\). Setze ein: \(V = \tfrac13\cdot 36\cdot 10\).
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Prisma: \(36\cdot 10 = 360\) cm³. Pyramide: \(V = \tfrac13\cdot 36\cdot 10 = \tfrac13\cdot 360\) = 120 cm³
h = 10 cma = 6 cm
Quadratische Pyramide mit Höhe h
A9
Mantelfläche eines Kegels
AFB I

Ein Kegel hat den Radius \(r = 5\) cm und die Mantellinie \(s = 13\) cm. Bestimme seine Mantelfläche \(M\) auf zwei Nachkommastellen.

cm²
Kegelmantel: \(M = \pi r s\). Setze ein: \(M = \pi\cdot 5\cdot 13\).
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\(M = \pi\cdot 5\cdot 13 = 65\pi\) ≈ 204,20 cm²
r = 5 cms = 13 cm
Kegel mit Radius r und Mantellinie s
A10
Oberfläche einer Kugel
AFB I

Eine Kugel hat den Radius \(r = 6\) cm. Ermittle ihre Oberfläche \(O\) auf zwei Nachkommastellen.

cm²
Kugeloberfläche: \(O = 4\pi r^2\). Setze ein: \(O = 4\pi\cdot 6^2\).
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\(O = 4\pi\cdot 6^2 = 144\pi\) ≈ 452,39 cm²
r = 6 cm
Kugel mit Radius r