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Pyramiden berechnen

Zehn Übungen, in denen das Drittel und die Seitenhöhe den Unterschied machen.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei den Rechenaufgaben helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Höhe, Seitenhöhe, Seitenkante
AFB I

Welche Aussagen über eine quadratische Pyramide stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Seitenkante läuft zur Ecke, die Seitenhöhe hs zur Mitte einer Grundkante — sie ist kürzer als die Seitenkante. Das Drittel gilt nur für das Volumen, und dort zählt h, nicht hs.
A2
h oder hs?
AFB I

Welche Länge brauchst du zusätzlich zur Grundkante a, um die Größe einer quadratischen Pyramide zu berechnen?

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1braucht h
2braucht hₛ
3braucht keines
Was in den Körper hineingeht (Volumen), braucht h. Was auf den Seitenflächen liegt (Mantel, Oberfläche), braucht hs. Grundfläche und ihr Umfang hängen nur von a ab.
A3
Blitzrechnung
AFB I

Eine Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den Seiten 5 cm und 7,2 cm und ist 9 cm hoch. Berechne ihr Volumen in cm³.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
G = 5 · 7,2 = 36 cm², V = ⅓ · 36 · 9 = 108 cm³. Trick: erst ⅓ · 9 = 3, dann 36 · 3. Wer 324 cm³ erhält, hat das Drittel vergessen.
Ansatz: Auch bei rechteckiger Grundfläche gilt V = ⅓ · G · h — nur ist G kein Quadrat.
Rechenweg: G = 5 cm · 7,2 cm, danach ⅓ · G · 9 cm.
A4
Rechenkette: vom Stützdreieck zum Volumen
AFB II

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 24 cm und die Höhe h = 9 cm.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Seitenhöhe hs cm
  2. Mantelfläche M cm²
  3. Oberfläche O cm²
  4. Volumen V cm³
Im Stützdreieck steht a/2 = 12 cm, nicht 24 cm: hs = √(9² + 12²) = √225 = 15 cm. M = 2 · 24 · 15 = 720 cm², O = 576 + 720 = 1296 cm², V = ⅓ · 576 · 9 = 1728 cm³.
Ansatz: Zeichne das Stützdreieck heraus: Katheten h = 9 cm und a/2 = 12 cm, Hypotenuse hs.
Rechenweg: M = 2 · a · hs, O = a² + M, V = ⅓ · a² · h.
A5
Rückwärts rechnen
AFB II

Verbinde jede Angabe mit dem passenden Ergebnis.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Rückwärts zuerst mit 3 multiplizieren: 3V = G · h. Dann durch die bekannte Größe teilen — bei quadratischer Grundfläche zum Schluss die Wurzel ziehen: G = 144 cm², a = 12 cm.
Ansatz: Stelle V = ⅓ · G · h um: h = 3V : G und G = 3V : h.
Rechenweg: Drittes Paar: G = 3 · 96 : 2 = 144 cm², also a = √144 cm.
A6
Trickaufgabe: Welche Höhe?
AFB II

Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 12 cm. Die Seitenhöhe hs ist 10 cm lang. Berechne das Volumen in cm³.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die 10 cm sind hs, nicht h! Erst h = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm, dann V = ⅓ · 144 · 8 = 384 cm³. Wer hs einsetzt, erhält 480 cm³.
Ansatz: Lies genau: Ist die Höhe der Pyramide gegeben oder die Höhe eines Seitendreiecks?
Rechenweg: Im Stützdreieck ist hs die Hypotenuse: h² = hs² − (a/2)².
A7
Welche Formel passt?
AFB II

Kreis, Zylinder und Pyramide gemischt: Welche Formel beantwortet die Frage?

Setze die passenden Kreuze. Enter setzt und löscht.
FrageV = ⅓GhV = πr²hO = a² + 2ahₛA = πr²
Wie viel Sand fasst eine Pyramiden-Sandform?
Wie viel Wasser passt in eine zylindrische Regentonne?
Wie viel Pappe braucht eine geschlossene Pyramiden-Schachtel?
Wie groß ist eine runde Tischplatte?
Wie viel Beton steckt in einem massiven Pyramiden-Poller?
Erst die Form bestimmen, dann fragen: Geht es um den Inhalt (Volumen) oder um Material auf der Außenseite (Fläche)?
A8
Fehlersuche im Schulheft
AFB III

Sechs Sätze aus einem Schulheft zur quadratischen Pyramide — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der häufigste Fehler in Klassenarbeiten: a statt a/2 im Stützdreieck. Gleich danach kommt das vergessene Drittel beim Rückwärtsrechnen.
A9
Was passiert mit dem Volumen?
AFB III

Bei einer quadratischen Pyramide werden Grundkante a und Höhe h verändert. Schätze für jede Zeile ein, was mit dem Volumen passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = viertelt sich, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt sich, 4 = vervierfacht sich, 5 = verachtfacht sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = viertelt sich5 = verachtfacht sich
nur h × 2
nur a × 2
a × 2 und h × 2
a × 2 und h : 4
nur a : 2
a steht im Quadrat, h nur einfach: doppelte Kante ergibt vierfache Grundfläche. Die Faktoren multiplizieren sich — bei a × 2 und h : 4 gilt 4 · ¼ = 1.
A10
Kerzen gießen
AFB III

Eine Kerzenwerkstatt gießt Pyramidenkerzen mit quadratischer Grundfläche (a = 5 cm, h = 9 cm). Im Topf ist 1 Liter flüssiges Wachs.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Hier wird abgerundet, weil nur volle Kerzen zählen. Wer das Drittel vergisst, rechnet mit 225 cm³ und kommt auf nur 4 Kerzen.
    Ansatz: Wachsmenge durch Wachs pro Kerze — beides in cm³.
    Rechenweg: V = ⅓ · 5² · 9 cm³; 1 l = 1000 cm³.