Die Glaspyramide des Louvre
AFB I–IIDer Eingang des Louvre-Museums in Paris ist eine gläserne Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Ihre Grundkante ist 35,4 m lang, ihre Höhe beträgt 21,6 m. Die vier Seitenflächen bestehen aus Glas, der Boden ist die Eingangshalle.
- Gib an, welche Flächen der Pyramide verglast sind, und gib die Längen der beiden Katheten im Stützdreieck an.
- Berechne die Seitenhöhe \(h_s\) und die gesamte Glasfläche.
- Bestimme den Rauminhalt der Pyramide.
- Vergleiche die Pyramide mit einer quaderförmigen Halle, die dieselbe Grundfläche und denselben Rauminhalt hat: Wie hoch wäre diese Halle?
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Verglast ist nur der Mantel, also die vier gleichschenkligen Seitendreiecke; der Boden (Grundfläche) nicht. Katheten des Stützdreiecks: die Höhe \(h = 21{,}6\) m und die halbe Grundkante \(\tfrac a2 = 17{,}7\) m.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(h_s = \sqrt{21{,}6^2 + 17{,}7^2}\) m \(= \sqrt{779{,}85}\) m \(\approx 27{,}93\) m.
\(M = 2\cdot 35{,}4\cdot 27{,}93\) m² \(\approx 1977\) m².
Die Glasfläche beträgt rund 1977 m².
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(G = 35{,}4^2\) m² \(= 1253{,}16\) m².
\(V = \tfrac13\cdot 1253{,}16\cdot 21{,}6\) m³ \(\approx 9022{,}75\) m³.
Die Pyramide umschließt rund 9023 m³ Luft.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(h_Q = \dfrac{V}{G} = \dfrac{9022{,}75}{1253{,}16}\) m \(= 7{,}2\) m.
Die Halle wäre nur 7,2 m hoch — genau ein Drittel der Pyramidenhöhe, weil die Pyramide nur ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe füllt.
Die Pralinenschachtel
AFB II–IIIEine Confiserie möchte Pralinen in einer Schachtel in Form einer quadratischen Pyramide verkaufen. Die Schachtel soll 500 cm³ fassen. Das Designteam schlägt eine Höhe von 15 cm vor. Klebelaschen und Kartondicke werden nicht berücksichtigt.
- Ermittle die Grundkante \(a\) der Schachtel.
- Weise nach, dass für die Schachtel rund 416 cm² Karton nötig sind.
- Die Marketingabteilung wünscht eine flachere Schachtel mit demselben Volumen und \(h = 7{,}5\) cm. Untersuche, wie sich der Kartonbedarf dadurch ändert.
- Ein Mitarbeiter folgert daraus: „Je höher die Schachtel, desto weniger Karton.“ Widerlege diese Aussage mit einer Rechnung für \(h = 30\) cm.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(a^2 = \dfrac{3V}{h} = \dfrac{3\cdot 500}{15}\) cm² \(= 100\) cm², also \(a = 10\) cm.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(h_s = \sqrt{15^2 + 5^2}\) cm \(= \sqrt{250}\) cm \(\approx 15{,}81\) cm.
\(O = 10^2 + 2\cdot 10\cdot 15{,}81\) cm² \(\approx 416{,}2\) cm² — also rund 416 cm².
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(a^2 = \dfrac{1500}{7{,}5}\) cm² \(= 200\) cm², \(a \approx 14{,}14\) cm.
\(h_s = \sqrt{7{,}5^2 + 7{,}07^2}\) cm \(= \sqrt{106{,}25}\) cm \(\approx 10{,}31\) cm.
\(O \approx 200 + 2\cdot 14{,}14\cdot 10{,}31\) cm² \(\approx 491{,}5\) cm².
Die flache Schachtel braucht rund 75 cm² (etwa 18 %) mehr Karton.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(a^2 = \dfrac{1500}{30}\) cm² \(= 50\) cm², \(a \approx 7{,}07\) cm; \(h_s = \sqrt{30^2 + 3{,}54^2}\) cm \(\approx 30{,}21\) cm.
\(O \approx 50 + 2\cdot 7{,}07\cdot 30{,}21\) cm² \(\approx 477{,}2\) cm² — mehr als bei 15 cm. Die Aussage ist damit widerlegt: Sehr flache und sehr hohe Schachteln brauchen beide mehr Karton. Der geringste Bedarf liegt dazwischen (etwa bei \(h \approx 14{,}4\) cm mit rund 416 cm²); der Vorschlag mit 15 cm ist also fast optimal.