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Pyramiden berechnen

Wie oft passt eine Pyramide voll Wasser in ein Prisma mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe? Erst tippen, dann umfüllen.

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Netz und Oberfläche

Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat eine Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Quadrats.

  • Grundfläche:Quadrat mit der Kantenlänge \(a\), also \(G=a^2\).
  • Mantel:vier gleichschenklige Dreiecke mit der Grundseite \(a\).
  • Höhe \(h\):Abstand der Spitze von der Grundfläche — steht senkrecht auf \(G\).
  • Seitenhöhe \(h_s\):Höhe eines Seitendreiecks, von der Spitze bis zur Mitte einer Grundkante.
  • Stützdreieck:rechtwinklig mit den Katheten \(h\) und \(\tfrac a2\) und der Hypotenuse \(h_s\).

Herleitung:

\(h_s^2=h^2+\left(\tfrac a2\right)^2\)
| √
Satz des Pythagoras im Stützdreieck.
\(h_s=\sqrt{h^2+\left(\tfrac a2\right)^2}\)
Mantel
Damit ist die Höhe jedes Seitendreiecks bekannt.
\(M=4\cdot\tfrac12\cdot a\cdot h_s=2\,a\,h_s\)
+ Grundfläche
Vier gleiche Dreiecke mit Grundseite \(a\) und Höhe \(h_s\).
\(O=a^2+2\,a\,h_s\)
Ergebnis
Grundfläche \(a^2\) plus Mantel.
Merke

Oberfläche der quadratischen Pyramide: \(O=a^2+2\,a\cdot h_s\)

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Das Volumen

Vergleiche die Pyramide mit dem Prisma, das dieselbe Grundfläche \(G\) und dieselbe Höhe \(h\) hat — sein Volumen \(V=G\cdot h\) kennst du aus Klasse 8.

Tippe zuerst, wie oft der Inhalt der Pyramide in das Prisma passt. Fülle dann mit „Umfüllen“ um, bis das Prisma voll ist. „Andere Pyramide“ wechselt Grundfläche und Höhe.

Pyramide ins Prisma umfüllen

Dein Tipp: Wie oft muss man die volle Pyramide umfüllen, bis das Prisma voll ist?

Halte fest: Nach genau drei Füllungen ist das Prisma voll — die Pyramide hat ein Drittel seines Volumens, bei jeder Grundfläche.

  • Volumen:\(V=\tfrac13\cdot G\cdot h\) — ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe.
  • Quadratische Pyramide:\(G=a^2\), also \(V=\tfrac13\cdot a^2\cdot h\).
  • Andere Grundflächen:Dreieck, Rechteck, Sechseck … — zuerst \(G\) berechnen, dann einsetzen.

Nach der Höhe umstellen:

\(V=\tfrac13\cdot G\cdot h\)
| · 3
Start: Volumenformel.
\(3V=G\cdot h\)
| : G
Den Bruch beseitigen.
\(h=\dfrac{3V}{G}\)
Ergebnis
Die Höhe folgt aus Volumen und Grundfläche.
Merke

Volumen der Pyramide: \(V=\tfrac13\cdot G\cdot h\)

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Allgemeine Hinweise

Höhe oder Seitenhöhe?

Für das Volumen zählt die Höhe \(h\) der Pyramide, für den Mantel die Seitenhöhe \(h_s\). \(h_s\) ist immer länger als \(h\).

Das Drittel nicht vergessen

Ohne \(\tfrac13\) erhält man das Volumen des Prismas — dreimal zu viel.

Stützdreieck herauszeichnen

Skizziere das rechtwinklige Dreieck aus \(h\), \(\tfrac a2\) und \(h_s\) einzeln. Dann ist klar, welche Seite die Hypotenuse ist.

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