Wissen und Reproduzieren
16 PunkteBerechne und runde auf zwei Nachkommastellen.
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Erwartungshorizont: a) \(U = 2\pi\cdot 7 = 14\pi \approx 43{,}98\) cm (1 P) b) \(A = \pi\cdot 7^2 = 49\pi \approx 153{,}94\) cm² (1 P) c) \(r = \dfrac{31{,}4}{2\pi} \approx 5{,}00\) cm (1 P) d) \(r = \sqrt{\dfrac{50{,}27}{\pi}} \approx 4{,}00\) cm, also \(d \approx 8{,}00\) cm (1 P).
Ein Kreisausschnitt hat den Radius \(r = 9\) cm und den Mittelpunktswinkel \(\alpha = 80^\circ\).
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Erwartungshorizont: a) \(b = \dfrac{80^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 9 = 4\pi \approx 12{,}57\) cm (2 P) b) \(A = \dfrac{80^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot 81 = 18\pi \approx 56{,}55\) cm², Kontrolle mit \(\tfrac12\cdot b\cdot r\) (2 P).
Ein Zylinder hat den Radius \(r = 5\) cm und die Höhe \(h = 12\) cm.
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Erwartungshorizont: a) \(V = \pi\cdot 5^2\cdot 12 = 300\pi \approx 942{,}48\) cm³ (2 P) b) \(O = 2\pi\cdot 25 + 2\pi\cdot 5\cdot 12 = 50\pi + 120\pi = 170\pi \approx 534{,}07\) cm² (2 P).
Welche Formeln sind richtig?
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Erwartungshorizont: Richtig sind \(V_{\text{Kegel}} = \tfrac13\pi r^2 h\), \(O_{\text{Kugel}} = 4\pi r^2\) und \(M_{\text{Zyl}} = 2\pi r h\). Falsch: Pyramide \(\tfrac13 G h\); Kegelmantel \(\pi r s\) mit Mantellinie; Kugel \(\tfrac43\pi r^3\). Punkte anteilig, je Fehlklick Abzug.
Zusammenhänge herstellen
22 PunkteEin Kegel hat den Radius \(r = 5\) cm und die Höhe \(h = 12\) cm.
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Erwartungshorizont: a) \(s = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\) cm (2 P) b) \(O = \pi\cdot 25 + \pi\cdot 5\cdot 13 = 90\pi \approx 282{,}74\) cm² (2 P) c) \(V = \tfrac13\pi\cdot 25\cdot 12 = 100\pi \approx 314{,}16\) cm³ (2 P).
Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante \(a = 8\) cm und die Höhe \(h = 3\) cm.
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Erwartungshorizont: a) \(h_s = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) cm (2 P) b) \(O = 8^2 + 2\cdot 8\cdot 5 = 64 + 80 = 144\) cm² (2 P) c) \(V = \tfrac13\cdot 64\cdot 3 = 64\) cm³ (2 P). Häufiger Fehler: \(h\) und \(h_s\) vertauscht.
Ein Wasserball hat einen Durchmesser von 40 cm.
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Erwartungshorizont: \(r = 20\) cm. a) \(O = 4\pi\cdot 20^2 = 1600\pi \approx 5026{,}55\) cm² (2 P) b) \(V = \tfrac43\pi\cdot 20^3 \approx 33510{,}32\) cm³ \(\approx 33{,}51\) l (Radius 1 P, Formel 1 P, Umrechnung 1 P).
Ein 10 cm langes Rohrstück hat außen den Radius 3 cm und innen den Radius 1 cm.
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Erwartungshorizont: a) \(A = \pi(3^2 - 1^2) = 8\pi \approx 25{,}13\) cm² (2 P) b) Ergänzen und abziehen: \(V = \pi\cdot 9\cdot 10 - \pi\cdot 1\cdot 10 = 80\pi \approx 251{,}33\) cm³ (3 P).
Verallgemeinern und beurteilen
12 PunkteBeurteile die Aussagen.
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Erwartungshorizont: Wahr sind 1 (\(2^3 = 8\)), 3 und 5 (\(2\pi r\cdot 2r = 4\pi r^2\)). Falsch: \(\tfrac{22}{7} \approx 3{,}1429\) ist nur eine Näherung, \(\pi\) ist irrational; doppelter Durchmesser heißt vierfache Fläche; Berührflächen zählen nicht zur Oberfläche. Punkte anteilig, je Fehlklick Abzug.
In einem zylinderförmigen Messbecher mit dem Innenradius 4 cm steht Wasser. Eine Stahlkugel mit dem Radius 3 cm wird hineingelegt und taucht vollständig unter.
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Erwartungshorizont: a) \(V = \tfrac43\pi\cdot 3^3 = 36\pi \approx 113{,}10\) cm³ (2 P) b) Das verdrängte Wasser bildet einen Zylinder mit \(r = 4\) cm: \(\Delta h = \dfrac{36\pi}{\pi\cdot 4^2} = 2{,}25\) cm (2 P) c) \(\tfrac43\pi r^3 = \pi\cdot 16\cdot 3 = 48\pi \Rightarrow r^3 = 36 \Rightarrow r = \sqrt[3]{36} \approx 3{,}30\) cm (2 P).
Ergebnis
| Aufgabe | Thema | Punkte |
|---|
Notenschema
| Punkte | Note | Beurteilung |
|---|---|---|
| 46 – 50 P | 1 | sehr gut |
| 40 – 45 P | 2 | gut |
| 30 – 39 P | 3 | befriedigend |
| 22 – 29 P | 4 | ausreichend |
| 12 – 21 P | 5 | mangelhaft |
| 0 – 11 P | 6 | ungenügend |