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Die Kreiszahl π annähern

Zehn Übungen, in denen Vielecke die Kreiszahl immer enger einkreisen.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Rechenaufgaben helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Untere oder obere Schranke?
AFB I

Alle Zahlen beziehen sich auf den Kreis mit d = 1, dessen Umfang genau π ist. Liegt die Zahl unter oder über π?

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1kleiner als π (untere Schranke)
2größer als π (obere Schranke)
Innen liegende Vielecke sind immer zu kurz, außen liegende immer zu lang. Vorsicht bei gerundeten Werten: 3,14 liegt unter π = 3,14159…, 3,1416 knapp darüber.
Ansatz: Vergleiche jede Zahl mit π = 3,14159… — Stelle für Stelle.
Rechenweg: Beim Vieleck reicht die Lage: innen → kürzer als der Kreis, außen → länger.
A2
Stimmt's? — Fünf Aussagen über π
AFB I

Fünf Behauptungen rund um Archimedes und die Kreiszahl.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Archimedes kennt π nie genau — er sperrt es zwischen zwei Zahlen ein, die immer enger zusammenrücken.
A3
Lückentext: Das Verfahren des Archimedes
AFB I

Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Archimedes legte in den Kreis ein und um den Kreis ein Vieleck. Dann er immer wieder die Eckenzahl. Die ineinander liegenden, immer kürzeren Intervalle bilden eine . Die Zahl, die übrig bleibt, ist π — und π ist .

„Periodisch“ passt nicht: Periodische Dezimalzahlen sind Brüche wie 1/3 = 0,333… — π ist gerade kein Bruch.
A4
Mix: Das Quadrat im Kreis
AFB II

Einem Kreis mit d = 1 ist ein Quadrat einbeschrieben — seine Ecken liegen auf der Kreislinie. Berechne den Umfang des Quadrats mit dem Satz des Pythagoras (ohne Sinus). Runde auf zwei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Die Diagonale ist ein Durchmesser: 1. Aus a² + a² = 1² folgt a = √0,5 ≈ 0,7071, also u₄ = 4 · 0,7071 ≈ 2,83. Kontrolle mit der Formel: 4 · sin 45° ≈ 2,83 — eine sehr grobe untere Schranke für π.
Ansatz: Die Diagonale des Quadrats ist ein Durchmesser des Kreises, also 1 lang.
Rechenweg: a² + a² = 1 ⇒ a = √0,5; Umfang 4 · a.
A5
Rechenkette: Das Achteck
AFB II

Kreis mit d = 1, also r = 0,5. Rechne mit dem Taschenrechner im Gradmaß (DEG) und runde auf vier Nachkommastellen.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Seite des einbeschriebenen Achtecks: s = sin(180° : 8)
  2. Umfang innen: u₈ = 8 · sin 22,5°
  3. Umfang außen: o₈ = 8 · tan 22,5°
  4. Breite des Intervalls o₈ − u₈
π liegt zwischen 3,0615 und 3,3137 — das Intervall ist noch gut 0,25 breit. Erst viele Verdopplungen später wird es so schmal, dass mehrere Nachkommastellen sicher sind.
Ansatz: 180° : 8 = 22,5°. Achte darauf, dass der Rechner auf DEG steht.
Rechenweg: s = sin 22,5° ≈ 0,3827; u₈ = 8 · s; o₈ = 8 · tan 22,5°.
A6
Der Größe nach
AFB II

Bringe die sechs Zahlen in aufsteigende Reihenfolge — die kleinste nach oben.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
110 · sin 18° (inneres Zehneck)
23 10/71 (Archimedes, unten)
3π
43 1/7 (Archimedes, oben)
510 · tan 18° (äußeres Zehneck)
64 (äußeres Quadrat)
10 · sin 18° ≈ 3,0902 < 3 10/71 ≈ 3,1408 < π ≈ 3,1416 < 3 1/7 ≈ 3,1429 < 10 · tan 18° ≈ 3,2492 < 4. Die Zehneck-Werte liegen weiter außen als Archimedes’ Grenzen vom 96-Eck — mehr Ecken, engere Schranken.
Ansatz: Rechne alle Werte auf vier Nachkommastellen aus, 3 10/71 = 3 + 10 : 71.
Rechenweg: sin 18° ≈ 0,3090, tan 18° ≈ 0,3249; 10 : 71 ≈ 0,1408; 1/7 ≈ 0,1429.
A7
Mix: Welche Winkelfunktion?
AFB II

Im Bestimmungsdreieck des n-Ecks liegt am Mittelpunkt der Winkel 180° : n, der rechte Winkel liegt an der Seitenmitte. Welche Funktion aus Klasse 9 brauchst du?

Setze die passenden Kreuze. Enter setzt und löscht.
Gesuchtsincostan
halbe Seite des einbeschriebenen n-Ecks (Hypotenuse r)
halbe Seite des umbeschriebenen n-Ecks (Ankathete r)
Abstand vom Mittelpunkt zur Seitenmitte des einbeschriebenen n-Ecks
Gegenkathete : Ankathete
Gegenkathete : Hypotenuse
Innen ist der Radius die Hypotenuse (→ Sinus), außen ist er die Ankathete, weil die Seite den Kreis berührt (→ Tangens). Deshalb u_n = n · sin(180° : n) und o_n = n · tan(180° : n).
Ansatz: Zeichne das Dreieck aus Mittelpunkt, Ecke und Seitenmitte. Wo liegt der Radius?
Rechenweg: sin = Gegenkathete : Hypotenuse, cos = Ankathete : Hypotenuse, tan = Gegenkathete : Ankathete.
A8
Schätz-Regler: Wie viele Ecken?
AFB III

Ab welcher Eckenzahl n liefert das einbeschriebene n-Eck (d = 1) auf zwei Nachkommastellen gerundet 3,14 — also u_n ≥ 3,135? Schätze, dann prüfe.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
6 Ecken100 Ecken
Mit n = 28 ist u₂₈ = 28 · sin(180° : 28) ≈ 3,1350, mit n = 27 erst ≈ 3,1345. Schon ein 28-Eck ergibt also gerundet 3,14 — für jede weitere Stelle braucht man aber rund dreimal so viele Ecken.
Ansatz: Probiere einige Werte mit n · sin(180° : n) aus, z. B. n = 20 und n = 40.
Rechenweg: n = 24 ergibt ≈ 3,1326, n = 32 ergibt ≈ 3,1365 — die Grenze liegt dazwischen.
A9
Trickaufgabe: Radius statt Durchmesser
AFB III

Lina zeichnet einen Kreis mit dem Radius 4 cm und misst den Umfang des einbeschriebenen regelmäßigen Neunecks: 24,63 cm. Welche untere Schranke für π folgt daraus? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Der Kreis hat d = 8 cm und den Umfang π · 8 cm. Das Neuneck ist kürzer: 24,63 cm < 8 · π, also π > 24,63 : 8 ≈ 3,08. Wer durch den Radius teilt, erhält 6,16 — das wäre eine Schranke für 2π.
Ansatz: Nur beim Kreis mit d = 1 ist der Umfang genau π. Hier gilt U = π · d mit d = 8 cm.
Rechenweg: 24,63 cm < π · 8 cm ⇒ π > 24,63 : 8.
A10
Was passiert mit dem Intervall?
AFB III

Betrachtet wird die Breite o_n − u_n des Intervalls aus äußerem und innerem n-Eck. Schätze, was passiert — ohne zu rechnen. Tipp: Vergleiche im Applet die Breiten beim 48- und beim 96-Eck.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird etwa 100-mal schmaler, 2 = wird etwa 4-mal schmaler, 3 = wird etwa halb so breit, 4 = bleibt gleich, 5 = wird breiter. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird etwa 100-mal schmaler5 = wird breiter
Die Eckenzahl wird verdoppelt (48 → 96).
Die Eckenzahl wird verzehnfacht (10 → 100).
Die Eckenzahl steigt von 50 auf 71 (Faktor ≈ √2).
Beide Vielecke werden um 5° gedreht.
Statt d = 1 nimmt man einen Kreis mit d = 2, gleiche Eckenzahl.
Die Breite schrumpft ungefähr mit n²: doppelte Eckenzahl, ein Viertel der Breite; zehnfache Eckenzahl, ein Hundertstel. Beim größeren Kreis werden alle Längen doppelt so groß — auch die Lücke. Drehen ändert nichts.
Ansatz: Lies im Applet die Breite beim 48-Eck (≈ 0,0067) und beim 96-Eck (≈ 0,0017) ab. Welcher Faktor?
Rechenweg: Faktor 4 bei doppelter Eckenzahl ⇒ die Breite verhält sich wie 1 : n².