MINT lernen

Die Kreiszahl π annähern

Zwei Aufgaben auf den Spuren von Archimedes und Zu Chongzhi.

1

Das Fünfeck als Start

AFB I–II

Archimedes begann mit dem Sechseck. Mira probiert es stattdessen mit dem regelmäßigen Fünfeck: Sie zeichnet einen Kreis mit dem Durchmesser \(d=1\), also \(r=0{,}5\), und legt ein einbeschriebenes und ein umbeschriebenes Fünfeck an. Rechne im Gradmaß.

Fünfecke innen und außen
36° 36° M r = 0,5 r s/2 t/2
Blau: einbeschriebenes Fünfeck (Seite s), rechts sein Teildreieck. Orange: umbeschriebenes Fünfeck (Seite t), links sein Teildreieck. Der Kreis hat d = 1.
  1. Gib den Winkel am Mittelpunkt \(M\) in den beiden rechtwinkligen Teildreiecken an.
  2. Berechne den Umfang \(u_5\) des einbeschriebenen Fünfecks auf vier Nachkommastellen.
  3. Ermittle den Umfang \(o_5\) des umbeschriebenen Fünfecks und notiere das Intervall, in dem \(\pi\) liegen muss.
  4. Für das 20-Eck gilt \(u_{20}\approx 3{,}1287\) und \(o_{20}\approx 3{,}1677\). Vergleiche die Breite dieses Intervalls mit der Breite des Fünfeck-Intervalls.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die fünf Mittelpunktswinkel des Fünfecks ergeben zusammen 360°; das Teildreieck halbiert einen davon.Angeben: Der Wert genügt, eine kurze Rechnung schadet nicht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Im blauen Dreieck (rechts) ist \(r\) die Hypotenuse und \(\tfrac s2\) die Gegenkathete zum Winkel aus a).
Hinweis zu Aufgabe c)
Im orangen Dreieck (links) ist \(r\) die Ankathete, weil die Seite den Kreis berührt — welche Winkelfunktion verbindet Gegen- und Ankathete?
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechne beide Breiten \(o_n-u_n\) und teile die größere durch die kleinere. Mit welchem Faktor wurde die Eckenzahl erhöht?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(360^\circ:5=72^\circ\); das Teildreieck halbiert diesen Winkel: \(\dfrac{72^\circ}{2}=36^\circ=\dfrac{180^\circ}{5}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\dfrac s2=0{,}5\cdot\sin 36^\circ\;\Rightarrow\; s=\sin 36^\circ\approx 0{,}5878\).

\(u_5=5\cdot\sin 36^\circ\approx 2{,}9389\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\dfrac t2=0{,}5\cdot\tan 36^\circ\;\Rightarrow\; o_5=5\cdot\tan 36^\circ\approx 3{,}6327\).

Also gilt \(2{,}9389<\pi<3{,}6327\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Fünfeck: \(3{,}6327-2{,}9389=0{,}6938\). 20-Eck: \(3{,}1677-3{,}1287=0{,}0390\).

\(0{,}6938:0{,}0390\approx 17{,}8\): Das Intervall des 20-Ecks ist rund 18-mal schmaler. Die Eckenzahl wurde vervierfacht; die Breite schrumpft ungefähr mit \(4^2=16\). Die Zunahme der Eckenzahl lohnt sich also mehr als proportional.

2

π auf sieben Stellen

AFB II–III

Der chinesische Mathematiker Zu Chongzhi (5. Jahrhundert) setzte das Verdoppeln bis zu einem Vieleck mit 12 288 Ecken fort. Er fand \(3{,}1415926<\pi<3{,}1415927\) und als handliche Näherung den Bruch \(\tfrac{355}{113}\). Archimedes hatte 700 Jahre vorher mit dem 96-Eck \(3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17\) erhalten.

  1. Bestätige, dass \(\tfrac{355}{113}\) in Archimedes’ Intervall liegt und viel näher an \(\pi\) liegt als \(\tfrac{22}{7}=3\tfrac17\).
  2. Bestimme mit \(u_n=n\cdot\sin\left(\tfrac{180^\circ}{n}\right)\) und \(o_n=n\cdot\tan\left(\tfrac{180^\circ}{n}\right)\) die kleinste Eckenzahl der Verdopplungsreihe 6, 12, 24, 48, 96, …, bei der das Intervall schmaler als 0,001 ist.
  3. Begründe auf zwei verschiedene Arten, dass \(\tfrac{355}{113}\) nicht der exakte Wert von \(\pi\) sein kann.
  4. Nimm Stellung zu der Aussage: „Wenn man nur lange genug die Eckenzahl verdoppelt, kennt man irgendwann alle Stellen von \(\pi\).“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne alle Brüche mit dem Taschenrechner auf mindestens sieben Nachkommastellen aus und bilde die Abstände zu \(\pi\).Bestätigen: Die Aussage ist vorgegeben — belege sie mit Zahlen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Breite beim 96-Eck kennst du aus dem Applet der Inhaltsseite. Rechne mit der nächsten Verdopplung weiter.
Hinweis zu Aufgabe c)
Ein Argument nutzt Zu Chongzhis eigene Grenzen, das andere eine Eigenschaft der Zahl \(\pi\) selbst.
Hinweis zu Aufgabe d)
Unterscheide: beliebig viele Stellen oder alle Stellen? Was bedeutet „irrational“ für die Anzahl der Stellen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(3\tfrac{10}{71}\approx 3{,}1408451\), \(3\tfrac17\approx 3{,}1428571\) und \(\tfrac{355}{113}\approx 3{,}1415929\) — der Bruch liegt dazwischen.

Abstand zu \(\pi\approx 3{,}1415927\): bei \(\tfrac{355}{113}\) etwa \(0{,}0000003\), bei \(\tfrac{22}{7}\) etwa \(0{,}0012645\). \(\tfrac{355}{113}\) ist also rund 4700-mal genauer.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(n=96\): \(o_{96}-u_{96}\approx 3{,}1427146-3{,}1410320\approx 0{,}0017\) — noch zu breit.

\(n=192\): \(u_{192}\approx 3{,}1414525\), \(o_{192}\approx 3{,}1418730\), Breite \(\approx 0{,}00042<0{,}001\).

Die kleinste Eckenzahl der Reihe ist \(n=192\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

1. Zu Chongzhis obere Grenze ist \(3{,}1415927\), aber \(\tfrac{355}{113}\approx 3{,}14159292>3{,}1415927\). Der Bruch liegt also knapp oberhalb von \(\pi\).

2. \(\pi\) ist irrational und lässt sich deshalb überhaupt nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben — auch nicht als \(\tfrac{355}{113}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Teilweise richtig: Jede Verdopplung macht das Intervall schmaler (etwa auf ein Viertel), deshalb lässt sich jede gewünschte endliche Anzahl von Stellen sicher bestimmen.

Falsch ist „alle Stellen“: \(\pi\) ist irrational, seine Dezimaldarstellung ist unendlich lang und nicht periodisch. Nach endlich vielen Schritten ist das Intervall immer noch eine echte Strecke — es bleiben unendlich viele unbekannte Stellen. Praktisch begrenzen außerdem Rundungsfehler die Rechnung.

Vollständig ist eine Stellungnahme, die beide Seiten abwägt und begründet zu einem Urteil kommt.