Vielecke innen und außen
Einen Kreisbogen kann man schlecht messen, gerade Strecken schon — deshalb sperrte Archimedes den Kreis zwischen zwei Vielecke ein.
- Kreis mit d = 1:dann ist \(U=\pi\cdot1=\pi\) — gesucht ist genau dieser Umfang.
- Inneres n-Eck:Ecken auf der Kreislinie; jede Seite ist kürzer als ihr Bogen, also \(u_n<\pi\).
- Äußeres n-Eck:Seiten berühren den Kreis von außen, also \(o_n>\pi\).
- Start: Sechseck:innen sechs gleichseitige Dreiecke mit Seite \(r=0{,}5\), also \(u_6=6\cdot0{,}5=3\).
- Verdoppeln:6 → 12 → 24 → 48 → 96 Ecken: beide Vielecke schmiegen sich an den Kreis.
Verdopple mit „Schritt“ die Eckenzahl — oder lass mit „Start“ alle Schritte bis zum 96-Eck ablaufen. Beobachte die Lupe und das Intervall auf der Zahlengeraden.
| Ecken n | Umfang innen | Umfang außen | Breite des Intervalls |
|---|
Halte fest: Mit jeder Verdopplung rücken die beiden Umfänge näher zusammen — \(\pi\) liegt immer dazwischen.
π als Grenzwert
Mit Sinus und Tangens aus Klasse 9 lassen sich beide Umfänge für jedes \(n\) berechnen.
Herleitung:
- Einschachtelung:für jedes \(n\) gilt \(n\cdot\sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)<\pi<n\cdot\tan\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)\).
- Intervallschachtelung:jedes neue Intervall liegt im vorigen und ist kürzer; die Breite geht gegen 0. Übrig bleibt genau eine Zahl — der Grenzwert \(\pi\).
- Archimedes:mit dem 96-Eck: \(3\tfrac{10}{71}<\pi<3\tfrac17\), also \(3{,}1408<\pi<3{,}1429\).
- Irrational:\(\pi\) ist kein Bruch: Die Dezimalstellen brechen nie ab und werden nie periodisch.
Kreiszahl: \(\pi=3{,}14159\ldots\) (irrational)
Allgemeine Hinweise
Taschenrechner auf DEG
\(\sin\left(\tfrac{180^\circ}{n}\right)\) im Gradmaß rechnen. Steht der Rechner auf RAD, kommen falsche Umfänge heraus.
22/7 ist nicht π
\(3\tfrac17=\tfrac{22}{7}\approx3{,}1429\) ist nur eine obere Schranke — schon die dritte Nachkommastelle stimmt nicht.
Mittelwert als Schätzung
Der Mittelwert \(\tfrac{u_n+o_n}{2}\) liegt näher an \(\pi\) als beide Schranken: beim 96-Eck \(3{,}1419\).