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Das Volumen der Kugel

Zehn Übungen, in denen der Radius hoch drei den Ton angibt.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei den Rechenaufgaben helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Das Prinzip von Cavalieri
AFB I

Welche Aussagen zur Herleitung des Kugelvolumens stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Halbkugel hat πr³ − ⅓πr³ = ⅔πr³, also ⅔ des Zylinders mit Höhe r. Cavalieri verlangt nur gleiche Höhe und gleiche Schnittflächen — die Formen dürfen ganz verschieden sein.
A2
Kugel-Memory
AFB I

Finde die sechs Paare aus Maß und Volumen.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Erst r³, dann mal 4/3: 6³ = 216 und 216 : 3 · 4 = 288. Bei d = 6 cm ist r = 3 cm — wer mit 6 rechnet, landet bei 288π statt 36π.
A3
Blitzrechnung
AFB I

Eine Glasmurmel hat den Radius 0,8 cm. Berechne ihr Volumen in cm³ auf zwei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
V = 4/3 · π · 0,8³ = 4/3 · π · 0,512 ≈ 2,14 cm³. Überschlag: 4,2 · 0,5 ≈ 2,1 cm³.
Ansatz: Rechne zuerst r³ = 0,8 · 0,8 · 0,8.
Rechenweg: Dann V = 4/3 · π · r³.
A4
Rechenkette: Wasserbombe
AFB II

Eine kugelförmige Wasserbombe wird mit genau 1 Liter Wasser gefüllt.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Volumen V cm³
  2. r³ = 3V : (4π), eine Nachkommastelle cm³
  3. Radius r, zwei Nachkommastellen cm
  4. Durchmesser d, zwei Nachkommastellen cm
r³ = 3000 : (4π) ≈ 238,7 cm³, r = ∛238,7 ≈ 6,20 cm, d ≈ 12,41 cm. Probe mit V ≈ 4,2 · r³: 4,2 · 238,7 ≈ 1003 — passt.
Ansatz: 1 l = 1000 cm³. Stelle V = 4/3 · π · r³ nach r³ um.
Rechenweg: r³ = 3V : (4π), dann die Kubikwurzel ziehen, dann verdoppeln.
A5
Trickaufgabe: Kugellampe
AFB II

Eine kugelförmige Papierlampe hat einen Durchmesser von 45 cm. Wie viele Liter Luft sind in ihr? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Zwei Fallen: r = 22,5 cm und 1 l = 1000 cm³. V = 4/3 · π · 22,5³ ≈ 47 713 cm³ ≈ 47,71 l. Mit dem Durchmesser wären es achtmal so viel (≈ 381,7 l).
Ansatz: Durchmesser oder Radius? Und in welcher Einheit ist gefragt?
Rechenweg: 1 l = 1 dm³ = 1000 cm³ — das Ergebnis in cm³ also durch 1000 teilen.
A6
Musterlösung: Radius aus dem Volumen
AFB II

Eine Kugel hat das Volumen 500 cm³. Baue die Rechnung für den Radius — zwei Bausteine sind Fallen.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die Fallen: Quadratwurzel statt Kubikwurzel — und π beim Umstellen vergessen.
Ansatz: Erst mit 3 multiplizieren, dann durch 4π teilen.
Rechenweg: Aus r³ zieht man die dritte Wurzel ∛.
A7
Welche Formel passt?
AFB II

Kugel, Kegel, Zylinder und Pyramide gemischt: Welche Formel beantwortet die Frage?

Setze die passenden Kreuze. Enter setzt und löscht.
FrageV = 4/3 · π · r³V = ⅓ · π · r² · hV = π · r² · hV = ⅓ · G · h
Wie viel Luft ist in einem Fußball?
Wie viel Saft passt in ein zylindrisches Glas?
Wie viel Öl fasst ein kegelförmiger Trichter?
Wie viel Beton steckt in der Pyramidenspitze eines Obelisken?
Wie viel Eis ist in einer Eiskugel?
Rund in alle Richtungen: Kugel. Spitz zulaufend: mit ⅓. Gerade Wände: Grundfläche mal Höhe.
A8
Was passiert mit dem Volumen?
AFB III

Eine Kugel wird verändert. Schätze für jede Zeile ein, was mit dem Volumen passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird ein Achtel, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt sich, 4 = verachtfacht sich, 5 = wird 27-mal so groß. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird ein Achtel5 = wird 27-mal so groß
Radius × 2
Radius × 3
Durchmesser : 2
zwei gleiche Kugeln statt einer
Kugel in zwei Halbkugeln zerschnitten (beide zusammen)
r steht hoch drei: Faktor k beim Radius ergibt k³ beim Volumen. Zwei Kugeln verdoppeln nur, Zerschneiden ändert gar nichts.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB III

Sechs Sätze aus einem Schulheft zum Kugelvolumen — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Durchmesser statt Radius ist der teuerste Fehler: Das Ergebnis wird achtmal zu groß.
A10
Silberkugeln gießen
AFB III

Eine Goldschmiedin schmilzt einen Silberwürfel mit 3 cm Kantenlänge ein und gießt daraus Kugeln mit 8 mm Durchmesser. Wie viele Kugeln werden fertig?

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Gleiches Material, andere Form: Das Volumen bleibt. Wer mit dem Durchmesser als Radius rechnet, kommt nur auf 12 Kugeln.
    Ansatz: Das Silber des Würfels verteilt sich auf die Kugeln.
    Rechenweg: Anzahl = Würfelvolumen : Kugelvolumen, beides in cm³.