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Das Volumen der Kugel

Zwei Sachaufgaben von der Badekugel bis zum riesigen Gasbehälter.

1

Badekugeln aus der Manufaktur

AFB I–II

Eine kleine Manufaktur stellt kugelförmige Badekugeln mit einem Durchmesser von 6,5 cm her. 1 cm³ der Mischung wiegt 1,1 g.

Skizze einer Badekugel
rd = 6,5 cm
Der Radius reicht vom Mittelpunkt bis zur Oberfläche, der Durchmesser einmal ganz hindurch.
  1. Gib den Radius einer Badekugel an.
  2. Berechne das Volumen einer Badekugel.
  3. Bestimme die Masse einer Badekugel.
  4. Für Probepackungen soll eine Mini-Badekugel mit dem halben Volumen entstehen. Ermittle ihren Durchmesser.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Radius und Durchmesser hängen über \(d = 2r\) zusammen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(V = \tfrac43\pi r^3\) — zuerst \(r^3\) berechnen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Masse = Volumen · Masse pro cm³.
Hinweis zu Aufgabe d)
Halbiere das Volumen und stelle \(V = \tfrac43\pi r^3\) nach \(r\) um. Ist der neue Durchmesser halb so groß?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(r = \tfrac{6{,}5}{2}\) cm \(= 3{,}25\) cm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(V = \tfrac43\cdot\pi\cdot 3{,}25^3\) cm³ \(= \tfrac43\cdot\pi\cdot 34{,}33\) cm³ \(\approx 143{,}79\) cm³.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(m \approx 143{,}79\cdot 1{,}1\) g \(\approx 158{,}2\) g. Eine Badekugel wiegt rund 158 g.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

\(V_{\text{neu}} \approx 71{,}90\) cm³.
\(r^3 = \dfrac{3\cdot 71{,}90}{4\pi}\) cm³ \(\approx 17{,}16\) cm³, \(r = \sqrt[3]{17{,}16}\) cm \(\approx 2{,}58\) cm, also \(d \approx 5{,}16\) cm.
Der Durchmesser schrumpft nur auf etwa 79 % (\(\sqrt[3]{0{,}5}\approx 0{,}79\)), nicht auf die Hälfte.

2

Der Kugelgasbehälter

AFB II–III

In einem Industriegebiet steht ein kugelförmiger Gasbehälter mit einem Innendurchmesser von 24 m. Das Unternehmen plant weitere Behälter.

Kugel und Zylinder im Vergleich
d = 24 mr = 12 mh = ?
Rechts ein zylindrischer Behälter mit demselben Radius — wie hoch muss er für dasselbe Volumen sein?
  1. Weise nach, dass der Behälter rund 7238 m³ fasst.
  2. Ein zylindrischer Behälter mit demselben Radius soll gleich viel fassen. Vergleiche seine Höhe mit der Höhe der Kugel.
  3. Stelle eine Formel für den Durchmesser \(d\) in Abhängigkeit vom Volumen \(V\) auf und berechne damit \(d\) für einen neuen Behälter mit 10 000 m³.
  4. Ein Planer sagt: „Für das doppelte Volumen brauchen wir einen doppelt so großen Durchmesser.“ Beurteile diese Aussage.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Radius aus dem Durchmesser, dann \(V = \tfrac43\pi r^3\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Zylinder: \(V = \pi r^2 h\). Stelle nach \(h\) um. Die Kugel ist 24 m hoch.
Hinweis zu Aufgabe c)
Stelle \(V = \tfrac43\pi r^3\) nach \(r\) um und ersetze \(r\) durch \(\tfrac d2\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Rechne mit deiner Formel aus c) für das doppelte Volumen nach — oder überlege, wie sich \(r^3\) verändert.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(r = 12\) m; \(V = \tfrac43\cdot\pi\cdot 12^3\) m³ \(= 2304\pi\) m³ \(\approx 7238{,}2\) m³ — also rund 7238 m³.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{2304\pi}{144\pi}\) m \(= 16\) m.
Der Zylinder ist nur 16 m hoch, also 8 m niedriger als die Kugel (⅔ ihrer Höhe). Dafür ist er in jeder Höhe gleich breit, während die Kugel oben und unten schmal wird.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(r^3 = \dfrac{3V}{4\pi}\) \(\Rightarrow\) \(d = 2\cdot\sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}\).
\(d = 2\cdot\sqrt[3]{\dfrac{30\,000}{4\pi}}\) m \(\approx 2\cdot 13{,}37\) m \(\approx 26{,}73\) m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Aussage ist falsch. Das Volumen wächst mit der dritten Potenz: Doppelter Durchmesser ergibt \(2^3 = 8\)-faches Volumen. Für das doppelte Volumen genügt der Faktor \(\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26\): \(d \approx 1{,}26\cdot 24\) m \(\approx 30{,}2\) m statt 48 m. Ein Behälter mit 48 m Durchmesser wäre viermal so groß wie nötig und viel zu teuer.