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Das Volumen der Kugel

Eine Halbkugel und ein ausgehöhlter Zylinder sehen ganz verschieden aus — und haben doch in jeder Höhe gleich große Schnittflächen.

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Das Prinzip von Cavalieri

Eine Kugel lässt sich nicht abwickeln. Man vergleicht deshalb eine Halbkugel mit einem Körper, dessen Volumen man schon berechnen kann.

  • Cavalieri:Zwei Körper mit gleicher Höhe, die in jeder Höhe gleich große Schnittflächen haben, haben dasselbe Volumen.
  • Vergleichskörper:Zylinder mit Radius \(r\) und Höhe \(r\), aus dem ein Kegel mit der Spitze nach unten herausgenommen ist.
  • Schnitt Halbkugel:Kreis mit dem Radius \(\rho\); Pythagoras: \(\rho^2=r^2-x^2\), also \(A=\pi\,(r^2-x^2)\).
  • Schnitt Restkörper:Kreisring; der Kegel hat in der Höhe \(x\) den Radius \(x\), also \(A=\pi r^2-\pi x^2\).

Ziehe die Schnittebene an ihrem Griff rechts nach oben und unten oder lass sie mit „Start“ durchfahren. Die Balken unten zeigen beide Schnittflächen — lege sie mit „Überlagern“ übereinander.

Zwei Körper, gleiche Schnitte

Halte fest: In jeder Höhe \(x\) sind beide Schnittflächen gleich groß, nämlich \(\pi\,(r^2-x^2)\). Deshalb haben Halbkugel und Restkörper dasselbe Volumen.

Herleitung:

\(V_{\text{Halbkugel}}=V_{\text{Zylinder}}-V_{\text{Kegel}}\)
einsetzen
Cavalieri: gleiche Schnittflächen in jeder Höhe.
\(V_{\text{Halbkugel}}=\pi r^2\cdot r-\tfrac13\,\pi r^2\cdot r\)
zusammenfassen
Zylinder \(V=\pi r^2h\), Kegel \(V=\tfrac13\pi r^2h\) (1.2.4), jeweils mit \(h=r\).
\(V_{\text{Halbkugel}}=\tfrac23\,\pi r^3\)
| · 2
\(\pi r^3-\tfrac13\pi r^3=\tfrac23\pi r^3\).
\(V_{\text{Kugel}}=\tfrac43\,\pi r^3\)
Ergebnis
Zwei Halbkugeln ergeben die ganze Kugel.
Merke

Volumen der Kugel: \(V=\tfrac43\,\pi r^3\)

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Mit der Formel rechnen

Mit der Formel geht es in beide Richtungen: vom Radius zum Volumen und vom Volumen zurück zum Radius.

  • Radius gegeben:einsetzen und zuerst \(r^3\) berechnen, dann mit \(\tfrac43\pi\) multiplizieren.
  • Durchmesser gegeben:zuerst \(r=\tfrac d2\) bilden.
  • Radius verdoppeln:das Volumen wird \(2^3=8\)-mal so groß.
  • Einheiten:\(1\,\mathrm{dm^3}=1000\,\mathrm{cm^3}\) = 1 Liter.

Nach dem Radius umstellen:

\(V=\tfrac43\,\pi r^3\)
| · 3
Start: Volumenformel.
\(3V=4\pi r^3\)
| : 4π
Den Bruch beseitigen.
\(r^3=\dfrac{3V}{4\pi}\)
| ∛
\(r^3\) steht allein.
\(r=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}\)
Ergebnis
Die Kubikwurzel macht das Hoch-drei rückgängig.
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Allgemeine Hinweise

Hoch drei, nicht hoch zwei

Im Volumen steht \(r^3\) — deshalb die Einheit \(\mathrm{cm^3}\). \(r^2\) gehört zu Flächen.

Durchmesser oder Radius?

Ein Ball mit \(d=20\,\mathrm{cm}\) hat \(r=10\,\mathrm{cm}\). Wer \(d\) einsetzt, erhält das 8-fache Volumen.

Überschlag mit 4,2

\(\tfrac43\pi\approx4{,}19\). Also ist \(V\approx4{,}2\cdot r^3\) — gut zum Kontrollieren des Taschenrechner-Ergebnisses.

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