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Übungsaufgaben
Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei den Rechenaufgaben helfen dir gestufte Tipps.
A1
Welche Terme passen?
AFB IEine Kugel hat den Radius r und den Durchmesser d. Welche Terme geben ihre Oberfläche an?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
4πd² rechnet mit dem Durchmesser wie mit dem Radius und ist viermal zu groß. 4/3 · πr³ ist das Volumen (cm³), 2πr² nur die gewölbte Fläche einer Halbkugel.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen rund um die Kugeloberfläche.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Die Oberfläche sind vier Großkreise: O = 4πr² — immer mit r², immer mit einer Flächeneinheit.
A3
Kugel und Oberfläche
AFB IVerbinde jede Kugel mit ihrer Oberfläche (gerundet). Achte darauf, ob der Radius oder der Durchmesser gegeben ist.
Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Mit dem Durchmesser geht es direkt über O = πd²: bei d = 6 m ist O = 36π m². Doppelter Radius heißt vierfache Fläche: 0,5 m → 3,14 m², 1 m → 12,57 m².
A4
Trickaufgabe: die Murmel
AFB IIEine Glasmurmel hat den Durchmesser 16 mm. Gib ihre Oberfläche in cm² an (zwei Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Zwei Fallen auf einmal: d = 16 mm ist r = 8 mm = 0,8 cm. O = 4π · 0,8² cm² = 2,56π cm² ≈ 8,04 cm². Wer mit 16 statt 8 rechnet, erhält das Vierfache; wer in mm rechnet, erhält 804 mm² — das Hundertfache der cm²-Zahl.
Ansatz: Erst den Radius bestimmen, dann in cm umrechnen: 16 mm → r = ? mm → ? cm.
Rechenweg: r = 0,8 cm. Setze in O = 4 · π · r² ein: 4 · π · 0,64.
Lösung: O = 2,56π cm² ≈ 8,04 cm².
A5
Die Herleitung ordnen
AFB IISo begründet man O = 4πr² mit dem Kugelvolumen. Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Die Kugel in sehr viele dünne Pyramiden zerlegen, alle Spitzen im Mittelpunkt
2Jede Pyramide hat die Höhe r, also das Volumen ⅓ · G · r
3Alle Grundflächen zusammen ergeben die Oberfläche: V = ⅓ · O · r
4Das Kugelvolumen einsetzen: 4/3 · πr³ = ⅓ · O · r
5Mit 3 multiplizieren und durch r teilen: O = 4πr²
Am häufigsten verrutscht der dritte Schritt: Erst wenn man ⅓ · r ausklammert, sieht man, dass die Summe der Grundflächen genau die Oberfläche ist.
A6
Mix: Welche Formel brauchst du?
AFB IIHier mischen sich Kugel und Zylinder. Welche Formel beantwortet die Frage?
Setze die passenden Kreuze. Enter setzt und löscht.
| Frage | O = 4πr² | V = 4/3 · πr³ | M = 2πr · h |
|---|---|---|---|
| Wie viel Leder braucht man für die Hülle eines Fußballs? | |||
| Wie viel Luft passt in einen Gymnastikball? | |||
| Wie groß ist das Papieretikett rund um eine Konservendose? | |||
| Wie viel Lack braucht man für eine Christbaumkugel? | |||
| Wie viel Wasser fasst eine kugelförmige Glasvase? |
Hülle, Lack, Leder → Fläche; Luft, Wasser, Inhalt → Volumen. Das Etikett umhüllt nur den Mantel des Zylinders, nicht Boden und Deckel.
A7
Rechenkette: rückwärts zum Wasserball
AFB IIFür einen Wasserball werden 5000 cm² Folie verarbeitet. Rechne rückwärts auf Radius, Durchmesser und Volumen.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- r² = O : (4π) cm²
- Radius r (zwei Nachkommastellen) cm
- Durchmesser d cm
- Luftvolumen V = 4/3 · πr³ in Litern (eine Nachkommastelle) l
Die Umkehrung r = √(O : (4π)) geht in zwei Schritten: erst durch 4π teilen, dann die Wurzel ziehen. Ins Volumen mit dem ungerundeten r rechnen — 1 l = 1000 cm³.
Ansatz: Aus O = 4πr² wird durch Teilen durch 4π: r² = 5000 : (4π).
Rechenweg: r² ≈ 397,89 cm², also r = √397,89 ≈ 19,95 cm. Für V: 4/3 · π · 19,95³ cm³.
Lösung: r ≈ 19,95 cm, d ≈ 39,89 cm, V ≈ 33 245 cm³ ≈ 33,2 l.
A8
Fehlersuche im Schulheft
AFB IIISechs Rechnungen aus einem Schulheft — drei davon sind falsch.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der Klassiker in Klassenarbeiten ist r³ statt r²: Die Einheit cm² verrät, dass in der Oberfläche nur ein Quadrat stehen kann.
A9
Was passiert mit der Oberfläche?
AFB IIIDie Kugel wird verändert. Schätze für jede Zeile ein, was mit der Oberfläche passiert — ohne zu rechnen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird ein Viertel so groß, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt sich, 4 = vervierfacht sich, 5 = verneunfacht sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird ein Viertel so groß5 = verneunfacht sich
Der Radius wird verdreifacht.
Das Volumen wird verachtfacht.
Der Radius wird mit √2 ≈ 1,41 multipliziert.
Statt r = 4 cm hat die Kugel jetzt d = 8 cm.
Der Durchmesser wird halbiert.
Die Oberfläche wächst mit dem Quadrat des Radius. Volumen × 8 heißt Radius × 2 (denn 2³ = 8), also Oberfläche × 4. Und √2 zum Quadrat ist genau 2.
Idee: Überlege zuerst, mit welchem Faktor k sich der Radius ändert. Die Oberfläche ändert sich dann mit k².
Beim Volumen: Das Volumen ändert sich mit k³. Welche Zahl hoch 3 ergibt 8?
A10
Acht kleine oder eine große Kugel?
AFB IIIAcht Knetkugeln mit je r = 1 cm werden zu einer einzigen großen Kugel zusammengeknetet. Verfolge, was mit der Oberfläche passiert.
Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Volumen und Oberfläche wachsen verschieden schnell: Beim Zusammenkneten bleibt das Volumen gleich, die Oberfläche halbiert sich. Viele kleine Teile haben zusammen mehr Oberfläche als ein großes.