Die Kuppel des Planetariums
AFB I–IIEin Planetarium hat eine halbkugelförmige Kuppel. Die Innenseite dient als Projektionsfläche für den Sternenhimmel und hat den Durchmesser 12 m. Die Kuppel ist 20 cm dick; außen wird sie vollständig mit Kupferblech verkleidet. Kupferblech kostet 85 € pro m², für Verschnitt rechnet der Dachdecker 10 % Material zusätzlich.
- Gib eine Formel für die gewölbte Fläche einer Halbkugel mit Radius \(r\) an.
- Berechne die Projektionsfläche.
- Ermittle die Materialkosten für die Kupferverkleidung.
- Erkläre, warum die Außenfläche um fast 7 % größer ist als die Innenfläche, obwohl der Radius nur um gut 3 % größer ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(A_{\text{Halbkugel}} = \tfrac12\cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2\) (ohne den ebenen Grundkreis).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(r_i = 12\text{ m} : 2 = 6\text{ m}\).
\(A_i = 2\pi\cdot 6^2\text{ m}^2 = 72\pi\text{ m}^2 \approx 226{,}19\text{ m}^2\).
Die Projektionsfläche ist etwa 226 m² groß.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(r_a = 6\text{ m} + 0{,}2\text{ m} = 6{,}2\text{ m}\).
\(A_a = 2\pi\cdot 6{,}2^2\text{ m}^2 = 76{,}88\pi\text{ m}^2 \approx 241{,}53\text{ m}^2\).
Mit Verschnitt: \(1{,}1\cdot 241{,}53\text{ m}^2 \approx 265{,}68\text{ m}^2\).
Kosten: \(265{,}68\cdot 85\text{ €} \approx 22\,583\text{ €}\).
Das Kupferblech kostet rund 22 600 €.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
\(\dfrac{r_a}{r_i} = \dfrac{6{,}2}{6} \approx 1{,}033\) — der Radius ist um etwa 3,3 % größer.
Die Fläche wächst mit dem Quadrat des Radius: \(\dfrac{A_a}{A_i} = \left(\dfrac{6{,}2}{6}\right)^2 \approx 1{,}068\), also etwa 6,8 % mehr (\(241{,}53 - 226{,}19 \approx 15{,}33\) m²).
Ein kleiner Zuwachs beim Radius wirkt sich bei der Fläche ungefähr doppelt so stark aus.
Der Wetterballon
AFB II–IIIEin Wetterballon aus Latex hat beim Start einen Durchmesser von 1,8 m und eine Hüllendicke von 0,08 mm. Beim Aufstieg sinkt der Luftdruck, das Gas dehnt sich aus und der Ballon wird größer, bis er in etwa 30 km Höhe bei einem Durchmesser von 7,2 m platzt. Die Menge an Latex bleibt dabei gleich — die Hülle wird nur dünner. Der Ballon wird näherungsweise als Kugel betrachtet.
- Bestimme die Oberfläche des Ballons beim Start und beim Platzen.
- Begründe ohne Taschenrechner, dass die Oberfläche beim Platzen 16-mal so groß ist wie beim Start.
- Untersuche, wie dick die Latexhülle kurz vor dem Platzen ist.
- Beurteile die Aussage von Mia: „Der Ballon hat beim Platzen 16-mal so viel Oberfläche, also ist dann auch sein Volumen 16-mal so groß.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Start: \(r = 0{,}9\text{ m}\), \(O = 4\pi\cdot 0{,}9^2\text{ m}^2 = 3{,}24\pi\text{ m}^2 \approx 10{,}18\text{ m}^2\).
Platzen: \(r = 3{,}6\text{ m}\), \(O = 4\pi\cdot 3{,}6^2\text{ m}^2 = 51{,}84\pi\text{ m}^2 \approx 162{,}86\text{ m}^2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(7{,}2 : 1{,}8 = 4\): Durchmesser und Radius werden 4-mal so groß.
Wegen \(O = 4\pi r^2\) wird die Oberfläche \(4^2 = 16\)-mal so groß: \(4\pi(4r)^2 = 16\cdot 4\pi r^2\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Latexvolumen: \(V_L \approx O\cdot d = 10{,}18\text{ m}^2\cdot 0{,}000\,08\text{ m} \approx 0{,}000\,814\text{ m}^3 \approx 814\text{ cm}^3\).
Beim Platzen verteilt sich dasselbe Volumen auf die 16-fache Fläche: \(d = 0{,}08\text{ mm} : 16 = 0{,}005\text{ mm}\) (5 µm).
Die Hülle ist beim Platzen nur noch ein Sechzehntel so dick — dünner als ein Zehntel eines Haares.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die Aussage ist falsch. Das Volumen wächst mit \(r^3\): \(4^3 = 64\).
\(V_{\text{Start}} = \tfrac43\pi\cdot 0{,}9^3\text{ m}^3 \approx 3{,}05\text{ m}^3\), \(V_{\text{Platzen}} = \tfrac43\pi\cdot 3{,}6^3\text{ m}^3 \approx 195{,}43\text{ m}^3\) — das 64-Fache.
Mia überträgt den Faktor der Fläche auf das Volumen. Vollständig ist die Antwort mit Urteil, Rechnung oder Faktorargument \(4^2\) gegen \(4^3\).