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Die Oberfläche der Kugel

Schäl eine Orange und leg die Schale in Kreise mit ihrem Radius — wie viele Kreise füllst du?

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Der Orangen-Versuch

Eine Orange ist fast eine Kugel, ihre Schale ist die Oberfläche. Die Schale lässt sich mit Kreisen vergleichen, die denselben Radius \(r\) wie die Orange haben.

  • Großkreis:Schnitt durch den Mittelpunkt der Kugel — ein Kreis mit Radius \(r\) und Fläche \(\pi r^2\).
  • Vorbereiten:mit der Orange als Schablone mehrere Großkreise auf Papier zeichnen.
  • Auslegen:die Orange schälen und die Kreise mit den Schalenstücken lückenlos füllen, einen nach dem anderen.

Tippe ein Schalenstück an, um es in den nächsten Kreis zu legen. Ziehe die Orange zur Seite, um sie zu drehen — mit der Tastatur drehen die Pfeiltasten, Enter legt das markierte Stück. Zähle mit, wie viele Kreise du füllst.

Schale in Kreise legen

Halte fest: Die Schale füllt genau vier Großkreise — die Oberfläche der Kugel ist viermal so groß wie die Fläche \(\pi r^2\).

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Oberfläche und Volumen

Mit dem Kugelvolumen aus 1.3.1 lässt sich die Vier auch rechnerisch begründen.

  • Zerlegen:die Kugel in sehr viele dünne Pyramiden teilen — Spitze im Mittelpunkt, Grundfläche auf der Oberfläche.
  • Höhe:jede dieser Pyramiden hat die Höhe \(r\); zusammen bilden die Grundflächen die Oberfläche \(O\).

Herleitung:

\(V=\tfrac13\cdot G_1\cdot r+\tfrac13\cdot G_2\cdot r+\dots+\tfrac13\cdot G_n\cdot r\)
| ausklammern
Start: Das Kugelvolumen ist die Summe aller Pyramidenvolumen \(\tfrac13\cdot G\cdot h\) mit \(h=r\).
\(V=\tfrac13\cdot(G_1+G_2+\dots+G_n)\cdot r=\tfrac13\cdot O\cdot r\)
| einsetzen
Die Grundflächen zusammen ergeben die Oberfläche \(O\).
\(\tfrac43\pi r^3=\tfrac13\cdot O\cdot r\)
| · 3
Für \(V\) das Kugelvolumen \(\tfrac43\pi r^3\) einsetzen.
\(4\pi r^3=O\cdot r\)
| : r
Mit 3 multiplizieren, damit die Brüche verschwinden.
\(O=4\pi r^2\)
Ergebnis
Durch \(r\) teilen — genau die vier Großkreise aus dem Orangen-Versuch.
Merke

Oberfläche der Kugel: \(O=4\pi r^2\)

  • Radius gesucht:\(O=4\pi r^2\) durch \(4\pi\) teilen und die Wurzel ziehen: \(r=\sqrt{\dfrac{O}{4\pi}}\).
  • Radius verdoppeln:die Oberfläche wird \(2^2=4\)-mal, das Volumen \(2^3=8\)-mal so groß.
  • Halbkugel:gewölbte Fläche \(2\pi r^2\); mit dem ebenen Grundkreis zusammen \(3\pi r^2\).
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Allgemeine Hinweise

Quadrat, nicht hoch drei

Die Oberfläche ist eine Fläche: \(r^2\) und Einheit cm². Das Volumen \(\tfrac43\pi r^3\) hat cm³ — die Einheit verrät die richtige Formel.

Radius, nicht Durchmesser

Ist der Durchmesser \(d\) gegeben, zuerst halbieren: \(r=\tfrac d2\). Erst dann quadrieren.

Mit dem Durchmesser rechnen

Wegen \(4\pi r^2=\pi\cdot(2r)^2\) gilt auch \(O=\pi d^2\) — praktisch, wenn \(d\) gemessen wurde.

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