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Der Umfang des Kreises

Zehn Übungen rund um Räder, Stämme und Reifen — und die eine Zahl, die bei jedem Kreis gleich bleibt.

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Übungsaufgaben

Zehn interaktive Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Rechenaufgaben helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Was gilt für jeden Kreis?
AFB I

Welche Aussagen über Radius, Durchmesser, Umfang und π stimmen für jeden Kreis?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
U : r ist doppelt so groß wie U : d, nämlich 2π ≈ 6,28. Der Umfang ist gut dreimal so lang wie der Durchmesser, nicht genau dreimal — und 3,14 ist nur ein gerundeter Wert für π = 3,14159…
A2
Gegeben — gesucht — Formel
AFB I

Verbinde jede Situation mit der Formel, die du dafür brauchst.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Aus U = π · d wird durch Teilen durch π die Formel d = U : π. Wer den Radius will, teilt zusätzlich durch 2 — also durch 2π.
A3
Der Kreisverkehr
AFB I

Die runde Mittelinsel eines Kreisverkehrs hat einen Durchmesser von 24 m. Wie lang ist ihr Bordstein ringsherum? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
U = π · d = π · 24 m ≈ 75,40 m. Überschlag: 3 · 24 m = 72 m — das Ergebnis muss etwas darüber liegen. Wer 2 · π · 24 rechnet, setzt den Durchmesser als Radius ein und erhält den doppelten Wert.
Ansatz: Gegeben ist der Durchmesser, nicht der Radius. Welche Form der Umfangsformel passt direkt?
Rechenweg: U = π · d: tippe π × 24 und runde erst das Ergebnis.
A4
Passt der Stamm auf die Säge?
AFB II

Eine Förster-Säge schafft Stämme bis 70 cm Durchmesser. Den Durchmesser misst man am stehenden Baum nicht direkt — man legt ein Maßband um den Stamm.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Wer oft entscheiden muss, rechnet die Grenze einmal um: 70 cm Durchmesser entsprechen 2,20 m Umfang. Der häufigste Fehler ist, Umfang und Durchmesser direkt miteinander zu vergleichen.
    Ansatz: Stelle U = π · d nach d um.
    Rechenweg: d = 2,51 m : π — und für die Grenze umgekehrt U = π · 0,70 m.
    A5
    Fehlersuche im Schulheft
    AFB II

    Sechs Rechnungen aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.

    In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
    Am häufigsten ist die Verwechslung von Radius und Durchmesser: Mit r gehört die 2 in die Formel, mit d nicht. Die Einheit verrät außerdem sofort, ob eine Länge oder eine Fläche herauskommt.
    A6
    Schätz-Regler: Hula-Hoop-Reifen
    AFB II

    Ein Hula-Hoop-Reifen ist 2,6 m lang, wenn man ihn aufschneidet. Schätze seinen Durchmesser in Zentimetern.

    Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
    40 cm160 cm
    d = 260 cm : π ≈ 82,8 cm. Überschlag: 260 : 3 ≈ 87 cm — weil π etwas größer als 3 ist, muss der Durchmesser etwas kleiner sein.
    Ansatz: Der aufgeschnittene Reifen ist sein Umfang. Überschlage mit π ≈ 3.
    Rechenweg: d = U : π = 260 cm : π — etwas weniger als 260 : 3.
    A7
    Mix: Das Quadrat im Kreis
    AFB II

    Die vier Ecken eines Quadrats mit der Seitenlänge 6 cm liegen auf einer Kreislinie. Hier brauchst du den Satz des Pythagoras aus Klasse 9.

    Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
    1. Durchmesser des Kreises (= Diagonale), zwei Nachkommastellen cm
    2. Umfang des Kreises, zwei Nachkommastellen cm
    3. Umfang des Quadrats cm
    4. Um wie viel Prozent ist der Kreisumfang länger? Eine Nachkommastelle %
    Die Diagonale des Quadrats ist ein Durchmesser: d = √(6² + 6²) cm ≈ 8,49 cm. Der Kreis ist dann gut 11 % länger als das Quadrat — die Kreislinie macht einen Bogen um jede Ecke.
    Ansatz: Die Diagonale geht durch den Mittelpunkt des Kreises — sie ist ein Durchmesser.
    Rechenweg: d = √(36 + 36) cm, dann U = π · d; Quadrat: 4 · 6 cm. Prozent: (U : 24 − 1) · 100.
    A8
    Stimmt's? — Wege um Kreise
    AFB III

    Fünf Behauptungen, bei denen du genau hinschauen musst. Überlege mit U = π · d.

    Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
    Aussage 1 von 5

    Der Umfang hängt nur vom Durchmesser ab — und das im gleichen Verhältnis. Deshalb sind die Halbkreis-Wege gleich lang, egal wie fein man sie unterteilt.
    A9
    Trickaufgabe: Zehn Umdrehungen
    AFB III

    Ein Messwagen rollt genau zehn volle Umdrehungen und legt dabei 17,6 m zurück. Wie groß ist der Radius seines Rades in Zentimetern? Runde auf ganze Zentimeter.

    Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
    Eine Umdrehung: 17,6 m : 10 = 1,76 m = 176 cm. r = 176 cm : (2π) ≈ 28 cm. Drei Fallen: die zehn Umdrehungen vergessen (280 cm), den Durchmesser angeben (56 cm) oder in Metern stehen bleiben (0,28).
    Ansatz: Welche Strecke schafft das Rad bei einer Umdrehung? Das ist sein Umfang.
    Rechenweg: U = 1,76 m = 176 cm; dann r = U : (2π).
    A10
    Was passiert mit dem Umfang?
    AFB III

    Am Kreis wird etwas verändert. Schätze für jede Zeile ein, was mit dem Umfang passiert — ohne zu rechnen.

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halbiert sich, 2 = bleibt gleich, 3 = wird um gut 6 cm länger, 4 = verdoppelt sich, 5 = verdreifacht sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = halbiert sich5 = verdreifacht sich
    Der Radius wird verdoppelt.
    Der Durchmesser wird verdreifacht.
    Der Radius wird um 1 cm länger — egal, wie groß der Kreis ist.
    Der Durchmesser wird halbiert.
    Man misst statt des Radius den Durchmesser — der Kreis bleibt derselbe.
    U = 2π · r wächst proportional mit r: Faktor beim Radius, derselbe Faktor beim Umfang. Und 1 cm mehr Radius bringt immer 2π cm ≈ 6,28 cm mehr Umfang — beim Knopf genauso wie beim Kreisverkehr.
    Ansatz: Schreib U = 2π · r und setze 2r, r + 1 … ein.
    Rechenweg: 2π · (r + 1) = 2π · r + 2π — der Zuwachs 2π hängt nicht von r ab.