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Der Umfang des Kreises

Zwei Sachaufgaben von der Kabeltrommel bis zum Messrad.

1

Die Kabeltrommel

AFB I–II

Auf einer Kabeltrommel ist ein 25 m langes Verlängerungskabel aufgewickelt. Der Kern der Trommel hat einen Durchmesser von 16 cm, die beiden Seitenscheiben haben einen Durchmesser von 40 cm. Die Trommel ist bis zum Rand voll. Vereinfacht wird jede Windung als Kreis betrachtet.

Kabeltrommel von der Seite
16 cm 40 cm Kabel
Kern (innen) und Seitenscheibe (außen); das Kabel füllt den Raum dazwischen.
  1. Berechne die Länge einer Windung, die direkt auf dem Kern liegt.
  2. Bestimme, wie viele Windungen es wären, wenn alle Windungen so kurz wären wie die innerste.
  3. Ermittle die Anzahl der Windungen, wenn alle so lang wären wie die äußerste, und notiere, zwischen welchen Grenzen die tatsächliche Anzahl liegt.
  4. Erläutere, warum man mit dem mittleren Durchmesser von 28 cm eine gute Schätzung für die Anzahl der Windungen erhält, und führe die Schätzung durch.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die innerste Windung liegt auf dem Kern — ihr Durchmesser ist 16 cm.Berechnen heißt: Formel, eingesetzte Werte, Ergebnis mit Einheit.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne die Kabellänge in Zentimeter um und teile durch die Länge einer Windung.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wiederhole b) mit d = 40 cm. Die wirkliche Zahl liegt zwischen den beiden Extremwerten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Der Umfang ist proportional zum Durchmesser. Jede Lage macht den Durchmesser um gleich viel größer — wie verteilen sich die Durchmesser also zwischen 16 cm und 40 cm?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(U=\pi\cdot d=\pi\cdot 16\text{ cm}\approx 50{,}27\text{ cm}\).

Eine Windung auf dem Kern ist etwa 50,27 cm lang.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(25\text{ m}=2500\text{ cm}\); \(\;2500\text{ cm}:50{,}27\text{ cm}\approx 49{,}7\).

Es wären knapp 50 Windungen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Äußerste Windung: \(U=\pi\cdot 40\text{ cm}\approx 125{,}66\text{ cm}\); \(\;2500:125{,}66\approx 19{,}9\).

Die tatsächliche Anzahl liegt also zwischen etwa 20 und 50 Windungen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Mit jeder Lage wächst der Durchmesser um dieselbe Kabeldicke. Die Durchmesser verteilen sich deshalb gleichmäßig zwischen 16 cm und 40 cm; ihr Mittelwert ist \(\tfrac{16+40}{2}\text{ cm}=28\text{ cm}\). Weil \(U=\pi d\) proportional zu \(d\) ist, ist auch die mittlere Windungslänge der Umfang beim mittleren Durchmesser.

\(U_{\text{mittel}}=\pi\cdot 28\text{ cm}\approx 87{,}96\text{ cm}\); \(\;2500:87{,}96\approx 28{,}4\).

Auf der Trommel liegen etwa 28 Windungen.

2

Das Messrad

AFB II–III

Mit einem Messrad vermessen Bauarbeiter Wege: Das Rad wird über den Boden geschoben, ein Zählwerk zählt die Umdrehungen und zeigt für jede volle Umdrehung genau 1 m an. Damit die Anzeige stimmt, muss der Umfang des Rades genau 1 m betragen.

Messrad
d eine Umdrehung: Strecke U = π · d Zählwerk: +1 m
Bei jeder vollen Umdrehung rollt das Rad genau seinen Umfang ab.
  1. Weise nach, dass das Rad dafür einen Durchmesser von etwa 31,83 cm haben muss.
  2. Ein billiges Messrad hat einen Durchmesser von 32 cm, zählt aber trotzdem 1 m pro Umdrehung. Untersuche, welche Strecke tatsächlich zurückgelegt ist, wenn es 100 m anzeigt.
  3. Nach langem Gebrauch ist die Lauffläche eines korrekten Rades (d = 31,83 cm) abgenutzt: Der Radius ist um 1 mm kleiner. Schätze ab, wie groß der Messfehler auf 100 m ist.
  4. Beurteile, ob das abgenutzte Rad geeignet ist, um (1) die Länge eines 400 m langen Gartenzauns für eine Bestellung und (2) eine amtliche Grundstücksgrenze zu messen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Setze U = 100 cm in U = π · d ein und stelle nach d um.Nachweisen: Die Zahl 31,83 cm muss aus deiner Rechnung folgen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Anzeige 100 m bedeutet: 100 Umdrehungen. Wie weit rollt das Rad mit d = 32 cm bei einer Umdrehung?
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie ändert sich U = 2π · r, wenn r um 1 mm kleiner wird? Auf 100 m macht das Rad rund 100 Umdrehungen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Wie genau muss man in (1) und in (2) jeweils messen? Hilft hier eine Reserve, dort nicht?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(U=\pi\cdot d=100\text{ cm}\;\Rightarrow\; d=\dfrac{100\text{ cm}}{\pi}\approx 31{,}83\text{ cm}\).

Probe: \(\pi\cdot 31{,}83\text{ cm}\approx 100{,}00\text{ cm}=1\text{ m}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(U=\pi\cdot 32\text{ cm}\approx 100{,}53\text{ cm}\). Die Anzeige 100 m bedeutet 100 Umdrehungen, also tatsächlich \(100\cdot 100{,}53\text{ cm}\approx 100{,}53\text{ m}\).

Das Rad zeigt rund 53 cm zu wenig an — ein Fehler von etwa 0,5 %.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\Delta U=2\pi\cdot 1\text{ mm}\approx 6{,}3\text{ mm}\) weniger pro Umdrehung. Auf 100 m macht das Rad rund 100 Umdrehungen, also fehlen etwa \(100\cdot 6{,}3\text{ mm}\approx 63\text{ cm}\).

Genauer: \(U=\pi\cdot 31{,}63\text{ cm}\approx 99{,}37\text{ cm}\); für 100 m braucht das Rad \(10\,000:99{,}37\approx 100{,}6\) Umdrehungen und zeigt etwa 100,6 m an. Das Rad zeigt rund 0,6 % zu viel an.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Auf 400 m beträgt der Fehler etwa \(400\text{ m}\cdot 0{,}0063\approx 2{,}5\text{ m}\), die Anzeige ist zu groß.

(1) Für die Zaunbestellung ist das unproblematisch: Man bestellt höchstens etwa 2,5 m zu viel, und eine kleine Reserve ist ohnehin sinnvoll — geeignet.

(2) Grundstücksgrenzen werden zentimetergenau festgelegt; ein Fehler von mehreren Metern ist unzulässig — nicht geeignet. Dafür nutzt man Vermessungsgeräte (z. B. Tachymeter, GPS).

Jedes begründete Urteil, das Genauigkeitsanspruch und Fehlergröße vergleicht, ist vollständig.